数值分析习题选编及参考解答(2)

12 如果右端有小扰动

?b???10?6，试估计由此引起的解的相对误差。

4. (编程题) 设计一通用的列主元消去法程序并可计算条件数（用于判断方程病态程度）。

?2x1?x2?x4?1??x1?x3?5x4?6??x2?4x3?x4?8??x?3x?x?3235. 对线性代数方程组?1 设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和

高斯－

赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。

?x1?0.4x2?0.4x3?1;?x1?2x2?2x3?1;??(a)?0.4x1?x2?0.8x3?2;(b)?x1?x2?x3?1;?0.4x?0.8x?x?3.?2x?2x?x?1.123?236. 设方程组 ?1试考察解此方

程组的雅可比

迭代法及高斯－赛德尔迭代法的收敛性。

?a11x1?a12x2?b1?ax?a22x2?b27. 设线性方程组为 ?211a11a22?0

（1） 证明用雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，

要么同时发散。 （2） 当同时收敛时，试比较其收敛速度。

?1?A?a???a12a1a8. 证明矩阵只对

?12a??a?1???12?a?1对于是正定的，而雅可比迭代

?a?

是收敛的。

9．已知

征向量，并改进

特征值的精度。

?2?A??1???0?12?1??1?A?2???12?411??1??6?? 有一个近似特征值

?j??6.42'，用反幂法求对应的特

10．

0???1给出用古典Jacobi方法求A特征值的第一次迭代计算。?2??

11．已知x?(1Hx??x201),y?e1,构造一个

THouseholder变换矩阵H，使得

e1。

习题三

1. 为求方程

x?x?1?0在x0?1.532 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形

式，并建立相应的迭代公式。

x?1?1,xk?1?1?1xk21）

x2;迭代公式

2）

32x?1?x,迭代公式xk?1?31?xk;2

3）

x?21x?1,迭代公式

xk?1?1xk?1.试分析每种迭代公式的收敛性。

2． 已知

x??(x)在区间

[a,b]内只有一根，而当a?x?b时，

?(x)?k?1,'试问

如何将x??(x)化为适于迭代的形式？

将x?tgx化为适于迭代的形式，并求x?4.5（弧度）附近的根。

3．能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 （1）

n?y'?y?0;?2?h??yn???,y(0)?1,??2?h?并证明当4． 用梯形方法解初值问题 证明其近似解为

x?(cosx?sinx)/4; （2）x?4?2.

xh?0时，它收敛于原初值

问题的准确解

5. 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需y?e?x.

计算）

?1)??y'?x?y,0?x?1;2)?y'?3y,0??(1?x)x?1;?y(0)?1;??y(0)?1.

6. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：

??yn?1?yhn?(K2?K3);?2??K1?f(xn,yn);??K2?f(xn?th,yn?thK1); ??K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1).

7. 导出具有下列形式的三阶方法： y'''n?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yn?b1yn?1?b2yn?2)

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