2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试(4)

【分析】（1）表示出向量AM，根据P、M、Q三点共线，得到关于x，y的等式，解出y即f（x）的解析式； （2）分别根据f（x），g（x）的单调性，求出f（x），g（x）的值域，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）∵过点M的直线分别交两边AB、AC于P、Q， ∴0＜x≤1，0＜y≤1…（1分）， 又∵

=x

，

=y

，

∴==（+）=+…（2分），

又∵P、M、Q三点共线， ∴

+

=1，

∴y=f（x）=…（3分），

由得，

∴≤x≤1…（4分），

∴y=f（x）=，x∈[，1]…（5分）；

（2）∵f（x）==+在[，1]内是减函数，

∴[f（x）]min=f（1）=，[f（x）]max=f（）=1， 即函数f（x）的值域为[，1]…（7分），

2

2

∵g'（x）=3x+3a≥0， ∴g（x）在[0，1]内是增函数，

2

∴[g（x）]min=g（0）=2a，[g（x）]max=g（1）=3a+2a+1，

2

∴g（x）的值域为[2a，3a+2a+1]…（9分），

由题设得[，1]?[2a，3a+2a+1]，

2

则…（11分）

解得a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，]…（12分）．

【点评】本题考查了向量共线问题，考查求函数的解析式，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题． 22．函数f（x）=alnx+1（a＞0）． （Ⅰ） 当x＞0时，求证：

；

*

（Ⅱ） 在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．

（Ⅲ） 当时，求证：）（n∈N）．

【分析】（I）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值即可证明；

（II）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即函数的单调性、极值及最大值即可； （III）由第一问得知

，则

，令

，利用导数研究

，然后利用“累加求和”即可证明．

【解答】（ I）证明：设

令，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，

则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立． （ II）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x

即，

令，

令，，

则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0

∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e﹣1 所以a的取值范围为[e﹣1，+∞）． （ III）证明：由第一问得知则== =2n﹣=2n﹣2（

）=

．

，则

【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及最大值，及恰当构造函数法，“累加求和”等方法．

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