2015高考(理)二轮复习试题：第8章 空间向量在几何体中的应用(3)

因此在等腰Rt△AOC中,AC=作BR⊥AC于R.

.

在△ABC中,AB=BC,所以BR==.

因为在平面ABC内,NQ⊥AC,BR⊥AC,所以NQ∥BR. 又因为N为AB的中点,所以Q为AR的中点,

因此NQ==.

同理,可得MQ=,

所以在等腰△MNQ中,cos∠MNQ===.

故二面角A-NP-M的余弦值是解法二:

由俯视图及(Ⅰ)可知,AO⊥平面BCD.

.

因为OC,OB?平面BCD,所以AO⊥OC,AO⊥OB. 又OC⊥OB,所以直线OA,OB,OC两两垂直.

如图,以O为坐标原点,以Oxyz.

,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系

则A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0).

因为M,N分别为线段AD,AB的中点, 又由(Ⅰ)知,P为线段BC的中点,

所以M,

N,P.

于是=(1,0,-),=(-1,,0),

=(1,0,0),=.

设平面ABC的一个法向量n1=(x1,y1,z1),

则即

有 从而

取z1=1,则x1=,y1=1,所以n1=(,1,1).

设平面MNP的一个法向量n2=(x2,y2,z2),

则即

有

取z2=1,所以n2=(0,1,1). 设二面角A-NP-M的大小为θ,

从而

则cos θ===.

故二面角A-NP-M的余弦值是.

9. (2014广东,18,13分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D-AF-E的余弦值.

[答案] 9.查看解析

[解析] 9.(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD, 又CD⊥AD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC, 又AF⊥PC,AF∩AD=A,

∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF.

(2)解法一:设AB=1,则Rt△PDC中,CD=1,∵∠DPC=30°,

∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF,

∴DF=,

∴CF=,又FE∥CD,

∴==,∴DE=,同理EF=CD=,

如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),

E,F,P(,0,0),C(0,1,0).

设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,

则又

∴

令x=4,得z=,故m=(4,0,),

由(1)知平面ADF的一个法向量为锐角,

=(-,1,0),设二面角D-AF-E的平面角为θ,可知θ为

cos θ=|cos

>|===,故二面角D-AF-E的余弦值为.

∵CF⊥平面ADF,∴CF⊥DF.

∴在△CFD中,DF=∵CD⊥AD,CD⊥PD,

,

∴CD⊥平面ADE.又∵EF∥CD, ∴EF⊥平面ADE.∴EF⊥AE,

∴在△DEF中,DE=,EF=,

在△ADE中,AE=,

在△ADF中,AF=.

由VA-DEF=·S△ADE·EF=·S△ADF·hE-ADF,

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