2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平

第三讲 平面向量

[考情分析]

平面向量的命题近几年较稳定，一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低，有时也与三角函数、解析几何综合命题，难度中等.

年份 卷别 Ⅰ卷 2017 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 2016 Ⅱ卷 Ⅲ卷 2015 Ⅰ卷 Ⅱ卷 考查角度及命题位置 向量垂直的应用·T13 向量加减法的几何意义·T4 向量垂直的应用·T13 平面向量垂直求参数·T13 平面向量共线求参数·T13 向量的夹角公式·T3 平面向量的坐标运算·T2 平面向量数量积的坐标运算·T4 [真题自检]

1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A．a⊥b C．a∥b

2

2

B．|a|＝|b| D．|a|>|b|

解析：依题意得(a＋b)－(a－b)＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A. 答案：A

2．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 C．1

B．0 D．2

2

2

解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a＋a·b＝4－3＝1.

法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C. 答案：C

3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6

4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7. 答案：7

平面向量的概念及线性运算

[方法结论]

1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e1，

e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量

共线定理来破解；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．

[题组突破]

1．如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交→→

于点E.若OE＝λOA，则λ＝( )

3A. 44C. 5

3B. 51D. 2

5→→→→→→→2→→→2→

解析：通解：设OA＝a，OB＝b，由题意得DC＝OC－OD＝OA＋AC－OB＝OA＋BA－OB＝2a－b.

333525→→→→→→→

因为OE＝λOA＝λa，设DE＝μDC＝2μa－μb，又OE＝OD＋DE，所以λa＝b＋2μa－μb＝2μa333

?25

＋?－μ?33

?b， ??

λ＝2μ??所以?25

－μ＝0??33

4

，所以λ＝.

5

优解：由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，过点A作AF∥OB交CD于点F(图略)，则11144→→

即AF＝BD＝OD，故AE＝OE，则OE＝OA，又OE＝λOA，故λ＝. 24455

AFAC1

＝＝， BDBC2

答案：C

→→→

2．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝( )

A．2 6C. 5

8B. 38D. 5

解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形1→11λ→→→→→

的边长为1，则AM＝(1，)，BN＝(－，1)，AC＝(1,1)，∵AC＝λAM＋μBN＝(λ－μ，＋μ)，

2222

1

λ－μ＝1??2∴?1??2λ＋μ＝1

6

λ＝??5

，解得?2

μ＝??5

8

，∴λ＋μ＝，故选D.

5

1→→μ→λ→→1→→→→→→

法二：由AM＝AB＋AD，BN＝－AB＋AD，得AC＝λAM＋μBN＝(λ－)AB＋(＋μ)AD，

22221

λ－μ＝1??2→→→

又AC＝AB＋AD，∴?λ

??2＋μ＝1答案：D

3．已知平面向量a＝(2,1)，c＝(1，－1)．若向量b满足(a－b)∥c，(a＋c)⊥b，则b＝( ) A．(2,1) C．(3,0)

B．(1,2) D．(0,3)

6

λ＝??5

，解得?2

μ＝??5

8

，∴λ＋μ＝，故选D.

5

解析：通解：设b＝(x，y)，则a－b＝(2－x,1－y)，a＋c＝(3,0)，由(a－b)∥c可得， －(2－x)－(1－y)＝0，即x＋y－3＝0.由(a＋c)⊥b可得，3x＝0，则x＝0，y＝3，选D. 优解：因为a＋c＝(3,0)，且(a＋c)⊥b，逐个验证选项可知，选D. 答案：D [误区警示]

在运用向量共线定理时，向量a与b共线存在实数λ保持a＝λb成立的前提条件是b≠0.

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