北师大版高中理科数学2-1：用向量的方法求线线角和线面角(教案)

课题：空间的角的计算（1）

教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题 教学重点：异线角与线面角的计算 教学难点：异线角与线面角的计算 教学过程

一、创设情景

1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法 2、向量的夹角公式 二、建构数学

1、法向量在求面面角中的应用：

原理：一个二面角的平面角?1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角?2相等或互补。 2、法向量在求线面角中的应用：

原理：设平面?的斜线l与平面?所的角为?1，斜线l与平面?的法向量所成角?2，则?1与?2互余或与?2的补角互余。 三、数学运用

1、例1 在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=BE1与DF1所成的角的大小。

解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角?AHG

15cos?AHG?

17解2：（向量法）设DD1?4a,D1F1?b，则|a|?|b|且a?b

A1 11A1B1，D1F1=D1C1，求44z D1 H F1 E1 C1 |DF1|?|BE1|?(4a)?b?17a DF1?BE1?(4a?b)(4a?b)?15a

222222B1 D C y G B 15 cos?BE1,DF1???17|BE1||DF1|BE1?DF1A x 解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以DA,DC,DD1为正交基底，建立如图所示空间坐标系D?xyz

BE1?(0,?1,4),DF1?(0,1,4)，BE1?DF1＝15 cos?BE1,DF1??BE1?DF1|BE1||DF1|?15 172、例2 在正方体ABCD?A1B1C1D1中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1E1?线E1F与平面D1AC所成角的大小

1D1C1,试求直41

解：设正方体棱长为1，以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz

DB1为D1AC平面的法向量，DB1?(1,1,1)

z D1 E1 C1 13E1F?(,,?1)

24cos?DB1,E1F??87 87A1 B1 87所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为

87D FA x B C y 3、补充例题 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29 （1）求证：SC⊥BC；

（2）求SC与AB所成角的余弦值

解：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=13，SB=29， 得B（0,17,0）、S（0,0,23）、C（2

134,,0）， 1717????????1341313∴SC =（2,,-23），CB=（－2,,0） 17171717????????（1）∵SC·CB=0，∴SC⊥BC （2）设SC与AB所成的角为α，

????????????????????∵AB=（0,17,0），SC·AB=4，|SC||AB|=417，

∴cosα=

17，即为所求 174、课堂练习 四、回顾总结

求异线角与线面角的方法 五、布置作业

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