高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案12-2

选考内容 第12章 第2节

一、选择题

??x＝－1－t，

1．(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程?(t为参数)所表示的图形

?y＝2＋3t?

分别是( )

A．圆、直线 C．圆、圆 答案：A

解析：∵ρ＝cosθ，∴x2＋y2＝x表示圆 .

?x＝－1－t，?

∵?∴3x＋y＋1＝0表示直线． ?y＝2＋3t，?

B．直线、圆 D．直线、直线

2．(2010·重庆卷)直线y＝

?x＝3＋3cosθ，3

x＋2与圆心为D的圆?(θ∈[0,2π))交于3?y＝1＋3sinθ

4π

C. 3

5πD. 3

A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为( )

7π

A. 6答案：C

5πB. 4

?x＝3＋3cosθ，3解析：把?代入y＝x＋2，

3?y＝1＋3sinθ

π25π11π

得sin(θ－)＝，所以θ＝或，由参数θ的意义知直线AD与BD的倾斜角之和

6212125π11π4π

为＋＝. 12123

?x＝4cosθ?

3．过点M(2,1)作曲线C：?(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在

??y＝4sinθ

直线的方程为( )

1

A．y－1＝－(x－2)

21

C．y－2＝－(x－1)

2答案：B

解析：由于曲线表示的是圆心在原点，半径为r＝4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，

B．y－1＝－2(x－2) D．y－2＝－2(x－1)

1

∵kOM＝，

2

∴弦所在直线的斜率是－2， 故所求直线方程为y－1＝－2(x－2)．

2

??x＝t，

4．点P(1,0)到曲线?(其中t是参数，且t∈R)上的点的最短距离为( )

?y＝2t?

A．0 答案：B

B．1 C.2 D．2

2

??x＝t，

解析：因为点P(1,0)到曲线?(t∈R)上的点之间的距离为d＝?x－1?2＋?y－0?2

?y＝2t?

＝?t2－1?2＋?2t?2＝t2＋1≥1，故选B.

?x＝4cosθ，

5．已知曲线?上一点P到点A(－2,0)、B(2,0)的距离之差为2，则△PAB是

?y＝23sinθ

( )

A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案：B

x2y2

解析：曲线的普通方程为＋＝1，c2＝4.故A、B为焦点．|PA|－|PB|＝2，

1612又|PA|＋|PB|＝2a＝8，解得|PA|＝5，|PB|＝3，而|AB|＝4，故是直角三角形．

??x＝2＋3cosθ，

6．(2010·安徽卷)设曲线C的参数方程为?(θ为参数)，直线l的方程为x

?y＝－1＋3sinθ?

B．直角三角形 D．等腰三角形

710－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )

10

A．1 答案：B

解析：曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，半径为3的圆，其中圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝

|2＋3＋2|710710710

＝且3－<，

10101010

B．2

C．3

D．4

故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点． 二、填空题

??x＝1＋2cosθ，

7．将参数方程?(θ为参数)化为普通方程，所得方程是________．

?y＝2sinθ?

答案：(x－1)2＋y2＝4

解析：(x－1)2＋y2＝4，是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．

??x＝3＋at，

8．直线?(t为参数)过定点________．

?y＝－1＋4t?

答案：(3，－1)

a

解析：消去t得(x－3)＝(y＋1)，－(y＋1)a＋4x－12＝0对于任何a都成立，则x＝3，

4

且y＝－1.

?x＝t，?

9．(2010·天津卷)已知圆C的圆心是直线? (t为参数)与x轴的交点，且圆C与

?y＝1＋t?

直线x＋y＋3＝0相切．则圆C的方程为________．

答案：(x＋1)2＋y2＝2

?x＝t，?|－1＋3|

解析：直线?(t为参数)与x轴的交点为(－1,0)，则r＝22＝2，

?1＋1?y＝1＋t

∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. 三、解答题

?x＝1＋2t，?

10．已知某条曲线C的参数方程为?(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该2

?y＝at?

曲线上．

(1)求常数a；

(2)求曲线C的普通方程．

?1＋2t＝5，?t＝2，??

解：(1)由题意，可知?2故?所以a＝1.

??at＝4，a＝1.??

?x＝1＋2t，?x－1

(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为?由第一个方程，得t＝，代入第22?y＝t，?

x－12

二个方程，得y＝()，即(x－1)2＝4y为所求．

2

?x＝－1＋2cosθ?

11．(2009·福建卷)已知直线l：3x＋4y－12＝0与圆C：?(θ为参数)，试

?y＝2＋2sinθ?

判断它们的公共点个数．

解：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4， 其圆心为C(－1,2)，半径为2. 由于圆心到直线l的距离

|3×?－1?＋4×2－12|7d＝＝<2，

532＋42故直线l与圆C的公共点个数为2.

数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 解：解法一：(1)由ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3－＝0.

由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0， 故可设t1，t2是上述方程的两实根．

222t)＋(t)2＝5，即t2－32t＋422

?x＝3－22t，

12．(2010·福建卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?

2

y＝5＋t?2

(t为参

?t1＋t2＝32，

所以?又直线l过点P(3，5)，

t2＝4.?t1·

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32. 解法二：(1)同解法一．

(2)因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为y＝－x＋3＋5.

?x＋?y－5?＝5，

由?得x2－3x＋2＝0. ?y＝－x＋3＋5，?x＝1，?x＝2，解得?或?

?y＝2＋5?y＝1＋5.

22

不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)， 又点P的坐标为(3，5)， 故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.

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