2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷(4)

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由，得．

由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=

．

，

．

得两切线到lAE：x+y﹣1=0的距离分别为∴当当当当当

，

时，△AEP个数为0个； 时，△AEP个数为1个；

时，△AEP个数为2个；

时，△AEP个数为3个；

时，△AEP个数为4个．

21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）?D，则称f（x）在D上封闭． （1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，说明理由； （2）函数

的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函

在（0，1）上是否封闭，

数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围； （3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）?D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn?Dn﹣1?…?D3?D2?D1?D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．

【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），

所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分） t=x+1∈（1，2）

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，

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g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分） （2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）?D． 函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D?f（D）， 得到：D=f（D）．…（2分）则f（a）=a，f（b）=b

，

在D=[a，b]单调递增． 在[﹣1，+∞）两不等实根．

故，解得．

另解：令故解得

在[﹣1，+∞）两不等实根．

k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，

．

（3）如果f（D）=D，则fn（D）=D，与题干矛盾． 因此f（D）?D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1?D．

接下来证明f（D1）?D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D{D1， 则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）?f（D1）． 考虑到p∈D\\D1，即

，

因为f（x）是单射，则f（D1）?f（D\\{p}）=f（D）\\{f（p）}=D1\\{f（p）}?D1 这样就有了f（D1）?D1．

接着令Dn+1=f（Dn），并重复上述论证证明Dn+1?Dn．

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