离散数学期末考试题(附答案和含解析1)

一、填空

2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B⊕C)-A

A C 4．公式(P?R)?(S?R)??P的主合取范式为 (?P?S?R)?(?P??S?R) 。 5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则 ?xP(x)??xP(x) 在I下真值为 1 。 6．设A={1，2，3，4}，A上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。

?1??0???0?0?010010000?? 1?0??0?? //备注：

?0??1R???0?0?100001000? ?0?1??0??

R2

7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图如下，则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。

//备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性

8．图的补图为 。

//补图:给定一个图G,又G中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：

* a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c 那么代数系统的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。 //备注：二元运算为x*y=max{x,y}，x,y?A。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。

//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大

下界的偏序）

二、选择题

1、下列是真命题的有（ C、D ）

A． {a}?{{a}}； B．{{?}}?{?,{?}}； C．

??{{?},?}； D．{?}?{{?}}。

2、下列集合中相等的有（ B、C ）

A．{4，3}??；B．{?，3，4}；C．{4，?，3，3}；D． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（ C ）个。 A． 23 ； B． 32 ； C．

2?223?3； D． 3。

//备注：A的二元关系个数为：

2n2个。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（ A ） A．若R，S 是自反的， 则R?S是自反的； B．若R，S 是反自反的， 则R?S是反自反的； X C．若R，S 是对称的， 则R?S是对称的； X D．若R，S 是传递的， 则R?S是传递的。 X //备注：设R={<3,3>,<6,2>},S={<2,3>}, 则S?R={<6,3>} ,

R?S={<2,3>}

5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下

R?{?s,t?|s,t?p(A)?(|s|?|t|}，则P（A）/ R=（ D ）

A．A ； B．P(A) ； C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}； D．{{?}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}

6、设A={?，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（ C ）

//例题：画出下列各关系的哈斯图 1）P={1,2,3,4},的哈斯图。

2）A={2,3,6,12,24,36},的哈斯图。 3）A={1,2,3,5,6,10,15,30},的哈斯图

A．f : I

7、下列函数是双射的为（ A ） //双射既是单射又是满射

?E , f (x) = 2x ； B．f : N?N?N, f (n) = ； C．f : R?I , f (x) = [x] ；//x的象 D．f :I?N, f (x) = | x | 。

（注：I—整数集，E—偶数集， N—自然数集，R—实数集） 8、图 中 从v1到v3长度为3 的通路有（ D ）条。

//备注：分别是v1->v1->v1->v3，v1->v4->v1->v3，v1->v3->v1->v3

A．0；

B．1； C．2； D．3。

9、下图中既不是Eular（欧拉）图，也不是Hamilton（哈密顿）图的图是（ B ）

10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（ A ）个4度结点。 A．1；

B．2；

C．3；

D．4 。

//备注：树的顶点数=边数+1 7+3×3+4n=2（7+3+n-1） 解得n=1 三、证明题

1、R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当< a, b>和在R中有在R中。 证： “?” ?a,b,c?X 若, ? R由R对称性知, ? R ? R， ? R有 ? R 任意 a,b?X，因 ? R若 ? R“?” 若? ? R 所以R是对称的

若

? R， ? R 则 ? R ??b,c??R ? ? R 即R是传递的

2、f和g都是群到< G2, *>的同态映射。

证明是的一个子群。其中C=

证：

{x|x?G1且f(x)?g(x)}

?1?a,b?C，有 f(a)?g(a),f(b)?g(b)，又f(b)?f?1(b),g(b?1)?g?1(b)?f(b?1)?f?1(b)?g?1(b)?g(b?1) ?f(a★b?1)?f(a)*f?1(b)?g(a)*g(b?1)?g(a★b?1)

?a★b?1?C ?< C , ★> 是 < G1 , ★>的子群。

3、G= (|V| = v，|E|=e ) 是每一个面至少由k（k?3）条边围成的连通平面图，则 森图（Peterson）图是非平面图。（11分） 证：

e?k(v?2)k?2， 由此证明彼得①设G有r个面，则（8分）

2e??d(Fi)?rki?1rr?，即

2e2ek(v?2)2?v?e?r?v?e?e?k即得 k。k?2。而 v?e?r?2故

k?5,e?15,v?10，这样e?②彼得森图为

所以彼得森图非平面图为：

k(v?2)k?2不成立，

四、逻辑推演

1、用CP规则证明下题

?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)

?xP(x) ①

② ③ ④ ⑤

P（附加前提）

P(c)

US①

?x(P(x)?Q(x)) P P(c)?Q(c)

US③

Q(c) T②

④I

?xQ(x) ⑥ UG⑤

⑦

?xP(x)??xQ(x) CP

五、计算题

1、设集合A={a，b，c，d}上的关系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩阵运算求出R的传递闭包t (R)。 解：

?0??1MR??0??0?100001000??0?1??0??MR2 ， ?1??0?MR?MR??0??0?01001000?010????101?MR3?MR2?MR??000????0??00?， 01001??0?0??0??

MR4?MR3?1??0?MR??0??0?01001000?110???1??11Mt(R)?MR?MR2?MR3?MR4??000????000???，

11001??1?1??0??

t (R)={ , , < a , c> , , , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c , d > }