“参数开门”,“反客为主”——数学破题技法(九)(2)

∵A-1=

x?1x?3x?32 当A∈Z时，亦有A-1∈Z.?

若x+1=0，则A=1∈Z(x= -1).? 若x+1≠0，有：A-1=

1x?3x?3x?12∈Z.这有两种可能.?

(1)

x?3x?3x?1x?3x?3x?122=±1. x2-4x+2=0，x=2±2；或x2-2x+4=0，无实数解，舍去.?

(2)

是分子1的真分数.? 令x2-3x+3=1，得x=1或2.?

故所求实数为x=-1，1，2，2±2.相应的整数为A=1，3，4，2.? 2.设两方程组的相同解为(x0，y0).? ?3x0?2y0?8?x0?2??由?

?6x0?5y0?7?y0?13??4m?n?1?m?3?2nx0?11y0?1代入?.? ????3??56?11n?1?n??5?7x0?11ny0?13.反客为主，原方程改写为关于a的一元二次方程：?

a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0.? ［a-(x2-3x-1)］2 =(x-1)2? a=(x-3x-1)±(x-1)?

有x2-2x-2-a=0 ①? 或x2-4x-a=0 ②? 由①：（x-1）2 = a+3.? 当a≥-3时，x=1±a?3.? 由②：(x-2)2=a+4.?

当a≥-4时，x=2±a?4. 故a<-4时，原方程无实根；?

a∈［-4,-3)时原方程有两解：x=2±a?4；?a∈［-3，+∞)时，原方程有四解： x=1±a?3，x=2±a?4.?

4.反客为主，先求Sn再求an，∵2Sn=(S n - Sn-1)+2S2n - 2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1.?

6

2

1Sn?Sn?1，得：?

∴Sn - Sn-1=1，∵a1=S1=1，令n=2，3，?，n，用叠加法可得Sn - S1=n-1.? ∴Sn=n,得an=Sn - Sn-1=n??1?n?1，于是?an=??n?2222

?(n?1)n?1?(n?2).?

5.设a=2，原方程转化为：a2-ax2-x(x2+x)=0，即(a-x2-x)(a+x)=0,? ∴x2+x=a或x= -a,? ∵a=2.? ∴x2+x-2=0?x=112±

21?42

或x=-2.??

7

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