2017组合数学复习提纲

2017组合数学复习提纲

1、选择题（10题，每题2分，共计20分） 2、填空题（10题，，每题2分，共计20分） 3、简答题（4题，每题5分，共计20分） 4、计算题（3题，每题5分，共计15分）

5、证明题（3题，1和2题各8分，3题9分，共计25分） 选择题

1、组合数学中的排列组合问题有时候我们可以通过（）问题来进行转换和解决。 A、模拟 B、E-R图 C、格路 D、方格

2、简单格路问题从（0,0）点出发沿X轴或Y轴的正方向每步走一个单位，最终走到（m,n）点，有（）条路径。 A、C(m+n,m) B、C(m,n) C、C(n,m) D、C(m+1,n)

3. 某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为（ B ）人。 A.47 B. 46 C.33 D.32

4. 某旅游车上有37名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有（C ）人带苹果。 A.32 B. 35 C.36 D.34

5.a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace图像的排列数为（ C ）。 A.6 B.24 C.576 D.594

6.把11种不同的水果用4种不同颜色的纱网包装，完工有多少种包装方法（ B ）。 A.114 B.411 C.11！ D.4！ 7. 多重集S={2*a,4*b}的5-排列数为（ C ）。 A.5 B.10 C.15 D.20

8. 重集S=｛2*a,1*b,3*c｝的3-组合数为（ C ）。 A.4 B.5 C.6 D.7

9. 同室4人各写1张 贺 年 卡 ，先 集 中 起 来 ，然 后 每 人 从 中 各 拿 张别人

送出贺年卡，4张贺年卡不同的分配方式数目为（ ）。

A.24 B.12 C.216 D.9

10. 求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个元素不在原来位置上的排列数为（ ）。

A.24 B.70 C.630 D.1680 11. 三对夫妇排成一排照相，每对夫妇都被隔开的情况有（ ）排法数。

A.240 B.265 C.60 D.320 12. 由棋盘多项式，我们可知R( )=（ ）

A、1+4x+4x2 B、1+4x+3x2 C、1+4x+2x2 D、1+4x+x2

13. 设有4个元素的排列，其中要求第一个元素不能排在第1个位置，第二个元素不能排在1、4的位置，第三个元素不能再2号位置，第四个元素不能在3号位置，问共有( )种排列方案？

A、4 B、5 C、6 D、7

14. 序列(C(n-1,0), -C(n,1), C(n+1,2), …, (-1)kC(n+k-1,k), … )的普通母函数（C）。

1A:（1+x）n B: 1?x C:（1+x）-n D: 1+x

15. 序列(p(0,0), p(2,1), p(4,2),…, p(2n,n),…)的指数母函数fe(x)为（A）。

1A：（1-4x）-1/2 B:1-4x C:(1+x)n D: 1-4x

16. （D）。 A：xA(x) B:A(x) C: x/A(x) D:xA,(x)

17. (B)

A: A(x)(1-x) B: A(x)/(1-x) C: xA(x) D: x/A(x)

18. 若有1、2、4、8、16、32克的砝码各一枚，问称出17克的方案数 A、1

B、2 C、3 D、4

19.下列递推关系属于3阶常系数线性齐次递推关系的是（）

A C

an?2an?1an?2?2an?3

B D

an?2an?1?an?2?2an?3 an?2an?1?an?2

an?2an?1?an?2?2an?3?1

20. 已知递推关系A anC an?an?2an?1?an?2a1?2,a2?3B D

(n?3)，则an的解是（）

?2n?n ?1?2nan?1?2nn

an?1?n

21. an=2 +1, =1.下列满足an 的通解：

A．an = B. an = +1 C. an = -1 D. an = -2

22.给定集合G和G上的二元运算“ · ”，如满足一些条件，称集合G（在运算“ · ” 之下）为一个群，下面哪个条件不需要满足：（ B ）

封闭性 B、分配律 C、有单位元 D、有逆元 23. 4次置换群G={（1）（2）（3）（4），（1,2），（3,4），（1,2）（3,4）}，共有（）个共轭类 A:2 B:3 C:4 D:5 24. 在置换群G={（1）（2）（3）（4），（1,2），（3,4），（1,2）（3,4）}中，有（）个不同的等价类

A:2 B:3 C:4 D:1

25. 用两种颜色去染排成一个圈的6个棋子，如果通过旋转得到只算作一种，则有多少种染色状态（）

A、14 B、20 C、21 D、22 答案：A

26. 甲烷CH4的4个键任意用H, C1, CH3, C2H5 连接，有多少种方案（）

A、12 B、13 C、30 D、36 答案：D 27. 用g,r,b,y四种颜色涂染正方体的六个面，求其中两个面用色g，两个面用色y，其余一面用b，一面用r的方案数（）

(A) 3 (B) 6 (C) 7 (D) 8

28. 对一正六面体的八个顶点，用y和r两种颜色染色，使其中6个顶点用色，其余2个顶点用色r，求其方案数（）。

(A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 8

29. 木箱里装有红色球3个，黄色球5个，蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出（ c ）个球。 A.2 B.3 C.4 D.5

30. 体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有（ A ）名同学所拿的球种类是一致的？ A.6 B.7 C.5 D.8

填空题

1. 设某地的街道将城市分割成矩形方格，某人在其住处A（0，0）的向东7个街道、向北5个街道的大厦B（7，5）处工作，按照最短路径（即只能向东或向北走），他每次上班必须经过某12个街道，问共有（792）种不同的上班路线？

2.在3*4的长方形内任意放置7个点，则其中至少有两点的距离小于等于_√5___。 3. 将1, 2, …, 10随机地摆成一圆，则必有某相邻三数之和至少是17_____ 2. 4.从1到500的整数中能被3或5整除的数的个数为233 。 3. 5.有a,b,c三个字符构成的n位字符串中，a,b至少出现一次的符号串的数目为3n-2n+1+1。 4. 4.求由2个0,3个1和3个2组成的八位数的个数420 。

5. 5.列出重集S=｛2*a,1*b,3*c｝的所有4-组合｛a,c,c,c｝,{b,c,c,c},{a,b,c,c},{a,a,c,c},{a,a,b,c} 。 6. 6.五个人坐在五把椅子上，随机选取一把坐下，要求第二次五个人都不坐在原来的椅子上，有 坐法。（5！X D5） 7. 7.求{1,2,…,n}的全排列中，正好只有r(0≤r≤n)个元素在原来位置上的排列个数为 。（C(n,r)×Dn-r）

8. 在重集{4*x,3*y,2*z}的全排列中，求不出现xxxx,yyy,zz图像的排列个数为 871 。

9. 设右图是4×4棋盘，禁区都在对角线上，用4个棋子在上面布局。求如图所示的有禁区的棋盘的布局方案数为 9 10. 求棋盘多项式R（ ）=1+4x+4x2+4x3 11.序列{1,α,α2,…,αn,…}（其中α是实数）的指数母函数fe(x)为eαx 12.序列(C(n,0),C(n,1),C(n,2),…, C(n,n))的普通母函数为（1+x）n。

13. 有a、b、c，3种蛋糕各一块，小明拿了一次，问小明拿奇数块蛋糕有多少种拿法 14. 若有1克的砝码3枚，2克的4枚，4克的2枚，问能称出10克有 5 种方案？ 15. 把n拆分为1、2、3允许重复的方法数的普通母函数是： 16.

已知递推关系an?2an?1?an?2?4an?3，则上述递推关系的特

征方程是________________________

x?2x?x?4?0

17. 已知递推关系an32?2an?1?an?2?2an?3(n?3)，则an的通

解是________________________

18. 若b为an=b1an-1+b2an-2+…+bkan-k+f(n) 的一个特解，a为an=b1an-1+b2an-2+…+bkan-k 的一个通解，则原非齐次递推关系的通解an表示为

________________

19. an=b1an-1+b2an-2+…+ bkan-k+f(n),f(n)为n的k次多项式，则特解 表示形式为_________________

20.先从初始条件开始，在求出序列中随后的几项；如果发现规律，那么就可以猜测一个显式的通项公式，并尝试用数学归纳法证明之。这个过程称为_________。 21.数学归纳法的两个步骤称为_________步和__________步。 22. P=（1）（2 3）（4 5 6 7）属于______类型。 23.对S={1,2,3}，若取G={e}，则有____个等价类。

24.正6面体的6个面分别用红，蓝两种颜色着色，有多少方案 25. 用2种颜色给正6面体的8个顶点着色，有多少方案

26 有3种不同颜色b,r ,g的珠子，串成4颗珠子的项链，则b^2rg有____方案？ 27. 将四个球a, a, b, b放到两个不同的盒子A、B中，问(a a b b)有多少种不同的放法？ 简答题

复习各章基本概念

计算题

1.格路问题：从(0,0)点到(m,n)点(m≥n)的，要求中间经过的每一个格子点(a,b)恒

满足a＞b关系，问有多少条路径？ 答：若从(0,1)点到(m,n)点的路径与y=x的交点从左往右数最后一个是P，作从(1,0)点到P点关于y=x的与上述(0,1)点到P点的路径对称的一条路径，于是从(0,1)点到(m,n)点的一条路径，就有一条从(1,0)点到(m,n)点但经过y=x上的格子点的路径与之对应。反之，一条从(1,0)点到(m,n)点但经过y=x上的格子点的路径，必存在一条从(0,1)点到(m,n)点的一条路径与之对应。4分（有简单阐述就给4分，不一定非要一样）

从(0,1)到（m,n）的路径条数为：C(m+n-1,n-1) 6分 从(1,0到（m,n）的路径条数为：C(m+n-1,n) 8分

所求的路径数为C(m+n-1,n)-C(m+n-1,n-1)=(m-n)(m+n-1)!/(m!n!) 10分

2. 某人参加一种会议，会上有6位朋友，他和其中每一人在会上相遇12次，每两人相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，与六人都相遇1次，一人也没遇见的有5次。问：该人共参加几次会议？ 3.求重集B={4*a, 3*b, 4*c, 5*d} r?组合数，其中r=12。

4.有n名儿童围坐在一个选装木马上，问有多少种方式改变他们的座位，使得每个儿童有一个不同的儿童坐在他们前面。

5.有G,L,W,Y四位工作人员，A,B,C,D为四项任务，但G不能从事任务B，L不能从事B,C两项任务，W不能做C,D工作，Y不能从事任务D。若要求每人从事各自力所能及的一项工作，试问有多少种不同方案？

6.某学校有12位教师，已知教数学课的教师有8位，教物理的教师有6位，教化学的教师有5位，其中有5位既教数学又教物理，有4位兼教数学和化学，兼教物理和化学的有3位；有3位教师教三门课。试问：（10分） （1）教数、理、化以外的课的教师有几位？ （2）只教一门课的教师有几位？ （3）正好教两门课的教师有几位？

7.求n位十进制正整数中出现偶数个5的数的个数。

8. 用黄珠和蓝珠穿成长度为2的直线形珠串，如果颠倒一个珠串的两端而得到另一个珠串，则认为二者相同，求不同的珠串数。

证明题

1.证明：设A=a1a2......a20时有10个0和10个1组成的某一位20位2进制数，B=b1b2...b20是任意的20位2进制数，先把A,B分别计入图（A）、（B）两个20个格子，分别得（A）、（B）两种图像，并把两个B联接的40位2进制数C=b1b2......b20 b1b2.....b20,它的图像为

2.证明题：6个人中一定有3个人相互认识或相互不认识。 3.证明：当n≥1时，

111(?1)n?1(?1)n1-????????1！2!3!(n?1)!n!Dn=n!( )

=m!-C(n,1)(m-1)!+C(n,2)(m-2)!+…+(-1)n C(n,n)(m-n)!

4.设有2个红球，1个黑球，1个白球，共有多少种不同的选取方法，并加以枚举。

5.证明：任何一个正整数都可惟一地用一二进制数来表示 6. 求递推关系 +2 + = 的通解

7.

若?ak收敛，bk??aj，则B(x)??A(1)?xA(x)?(1?x)k?0j?k??

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