数学物理方法作业习题第二篇第2章

习 题

1. 细杆受到某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的位移，假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律，试证明u(x,t)满足方程

??u??u(?(x))?(E)，这里ρ为杆的密度，E为?t?t?x?x杨氏模量.在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点自由；(3)端点固定

在弹簧支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.

2. 试证明：在弹性介质内振动的弦振动方程为?utt?Tuxx??u，这里00，?是介质的弹性系数.

3. 杆铅垂的悬挂着，并且杆上的所有点的位移被某种方法保持为零，在时刻t=0时杆被放开，而只有杆顶上的各点仍被保持固定不动，试证杆的强迫振动的问题为

?utt?a2uxx?g,0?x?l,t?0?，这里g为重力加速度是常数. ?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t?4. 考察一根均匀细杆，设细杆的横截面积为常数A，又设它的侧面绝热，以

u(x,t)表示x点在时刻t的温度，假设杆的传热符合傅立叶实验定律，试证明

2?uk2?u2?aa?u(x,t)满足方程，这里，其中k>0为热传导系数，?为?t?x2c?细杆的密度，c为比热. 在细杆的热传导过程中，假设(1)杆的端点保持已知

温度；(2)杆端保持已知的热流；(3)杆端与温度给定的介质按牛顿定律进行热交换，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.

5. 设长度为l的均匀细杆，其初始温度为?(x)，如果在x=0端保持常温u0，而在侧面与在x=l端与温度为零的周围介质按牛顿定律发生热交换，试证：杆的温度u(x, t)满足问题:

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?L?2u?au?u,0?x?l,t?0xx?tc?A??u(0,t)?u0,ux(l,t)?hu(l,t)?0,t?0 ?u(x,0)??(x)??其中L是细杆的横截面的周长， a?2?k,h?.

kc?6. 设以边长为a, b的薄的矩形板，如果它的侧边保持有u(x,0)??1(x)，

u(x,b)??2(x), u(0,y)??1(y),，u(a,y)??2(y)矩形板的初始温度为

f(x, y)，试证：板的温度u(x, y, t)满足问题：

2??u?2u2?u??t?a(?x2??y2)? ?u(x,y,0)?f(x,y)?u(x,0)??(x),u(x,b)??(x),u(0,y)??(y),u(a,y)??(y)1212??7. 把下列二阶偏微分方程化成标准型：

(1)uxx?2uxy?3uyy?uy?0; (2)uxx?6uxy?10uyy?ux?3uy?0; (3)4uxx?4uxy?uyy?2uy?0; (4)xuxx?yuyy?0;

(5)yuxx?xuyy?0; (6)(1?x)uxx?(1?y)uyy?yuy?0; (7)4yuxx?euyy?0; (8)uxx?(2sinx)uxy?(2?cosx)uyy?0;

22x2222222

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