【浙江工商大学】概率统计模拟试题1-4解答

模拟试题（一）参考答案

一.单项选择题（每小题2分,共16分）

1、设A, B为两个随机事件,若P(AB)?0,则下列命题中正确的是（ ） (A) A与B互不相容 (C) P(A)?0或P(B)?0

(B) A与B独立

(D) AB未必是不可能事件

解 若AB为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.

2、设每次试验失败的概率为p,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

1(A) 3(1?p) (B) (1?p)3 (C) 1?p3 (D) C3(1?p)p2

解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为p3,故所求概率为1?p3.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.

3、若函数y?f(x)是一随机变量?的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ） (A) f(x)非负 (B) f(x)的值域为[0,1] (C) f(x)单调非降 (D) f(x)在(??,??)内连续

解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,f(x)是定义在(??,??)上的非负函数,且满足

?????11f(x)dx?1,所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从[,]上的均匀分布的随机变量的概

32率密度

11??6,?x?,f(x)??32

?其他?0,在x?11与x?处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 324、若随机变量X的概率密度为f(x)?12?X?3X?3X?3X?3(A) ?? (B) ?? (C) ??(D) 2222X?3解 X的数学期望EX??3,方差DX?2,令Y?,则其服从标准正态分布.故本题应选A. 25、若随机变量X, Y不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) cov(X,Y)?0 (C) DXY?DX?DY 解 因为??0,故 (B) D(X?Y)?DX?DY? (D) EXY?EX?EY e?(x?3)24 (???x???),则Y?（ ）~N(0,1) cov(X,Y)??DX?DY?0, D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?DX?DY, 但无论如何,都不成立DXY?DX?DY.故本题应选C. 6、设样本X1,X2,???,Xn取自标准正态分布总体X,又X, S分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) X~N(0,1) n (B) nX~N(0,1)? (D) (C) 22X~?(n) ?ii?1X~t(n?1) S1

n?X~t(n?1),只有C选项成立.本题应选C. S7、样本X1,X2,?,Xn (n?3)取自总体X,则下列估计量中,（ ）不是总体期望?的无偏估计量 解 X~N(0,),nX~N(0,n),(A) 1n?Xi?1ni (B) X (D) X1?X2?X3 (C) 0.1(6X1?4Xn) 解 由无偏估计量的定义计算可知,?Xi?1ni不是无偏估计量,本题应选A. 8、在假设检验中,记H0为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) H0成立,经检验接受H0 (C) H0不成立,经检验接受H0 二.填空题（每空2分,共14分）

1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解

(B) H0成立,经检验拒绝H0 (D) H0不成立,经检验拒绝H0

解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.

13;. 881,则X的概率密度为________. 32、设随机变量X服从一区间上的均匀分布,且EX?3, DX?a?b(b?a)21?3, DX??,解得a?2, b?4, 解 设X~[a,b],则EX?2123?1?,2?x?4,所以X的概率密度为f(x)??2

?其他.?03、设随机变量X服从参数为2的指数分布, Y服从参数为4的指数分布,则E(2X2?3Y)?________. 解 E(2X?3Y)?2EX?3EY?2[DX?(EX)]?3EY?2227. 44、设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有P{|X?Y|?6}?________.

解 根据切比雪夫不等式,

D(X?Y)DX?DY?2cov(X,Y)1??. 23612615、假设随机变量X服从分布t(n),则2服从分布________（并写出其参数）.

XP{|X?Y|?6}?ZY1~t(n),其中Y~N(0,1),Z~?2(n),且Y2~?2(1),从而2?n2~F(n,1). 解 设X?XYZn6、设X1,X2,?,Xn(n?1)为来自总体X的一个样本,对总体方差DX进行估计时,常用的无偏估计量是________.

2

解 S2?1(?Xi?X)2. n?1i?1n三.(本题６分)

设P(A)?0.1,P(B|A)?0.9,P(B|A)?0.2,求P(A|B). 解 由全概率公式可得

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.1?0.9?0.9?0.2?0.27.

P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)1??.

P(B)P(B)3四.(本题8分)

两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:

(1) 任取一个零件是合格品的概率,

(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.

解 设A1,A2分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?21?0.97??0.98?0.973. 331?0.02P(A2B)P(A2)P(B|A2)3???0.247. (2) P(A2|B)?1?0.973P(B)P(B)五.(本题14分)

袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以X, Y记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:

(1) (X, Y)的联合分布； (3) X, Y是否独立；

(2) X, Y的边缘分布； (4) E(XY).

解 （1） Y X 1 2 3 1 0

11 6121112

666113 0

126111（2）P(X?1)?,P(X?2)?,P(X?3)?.

424111P(Y?1)?,P(Y?2)?,P(Y?3)?.

4241?P(X?1)P(Y?1),故X, Y不独立. （3）因为P(X?1,Y?1)?0?16111111123?2?1??2?2??2?3??3?1??3?2??（4）E(XY)?1?2??1?3?.

61266612663

六.(本题12分)

设随机变量X的密度函数为

f(x)?Ax2e?|x| (???x???),

试求:

(1) A的值； (2) P(?1?X?2)； (3) Y?X的密度函数. 解 (1) 因

2?????f(x)dx?2A?2??0x2e?xdx?4A?1,从而A?1; 4

102x122?x(2) P{?1?X?2}??f(x)dx??xedx??xedx

?14?14055?1?e?2?e?1;

24(3) 当y?0时,FY(y)?0;当y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)

?FX(y)?FX(?y),

所以,两边关于y求导可得,

fY(y)?1y?e?4y?12y?1y?e?4y??12y?1y?e?4y.

故Y的密度函数为

??fY(y)??1??4七.(本题6分)

0,y?e?yy?0,,y?0.

某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.

解 设Xi??,?0,第i人不购买该种商品(i?1,2,?,1000),X表示购买该种商品的人数,则

1,第i人购买该种商品?X?EXDX?n?EXDX)?P(X?600240?n?600) 240X~B(1000,0.6).又设商品预备n件该种商品,依题意,由中心极限定理可得

P(X?n)?P(??(查正态分布表得

n?600)?0.997. 240n?600240?2.75,解得n?642.6?643件.

八.(本题10分)

一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R. (1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X为总体,即X???1，黑球， 求总体X的分布；

?0，白球，(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n的样本X1,X2,?,Xn,其中有m个白球,求比数R的最大似然估计值.

解

4

（1） X 1 0 P R1 1?R1?Rx1?x?R??1?即P(X?x)??????1?R??1?R?（2）L(R)?两边取对数,

?P(Xi?1ni?xi)?Rx (x?0,1); ?1?RxR?i(1?R)n,

lnL(R)?R?xi?nln(1?R),

两边再关于R求导,并令其为0,得

1?0, ?xi?n1?Rxi????n?1. 从而R?,又由样本值知,?xi?n?m,故估计值为Rn??xim九.(本题14分)

对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:?）:

A批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137； B批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设??0.05,问:

(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （t0.025(10)?2.2281,F0.025(5,5)?7.15） 22解 (1) H0：?12??2. ， H1：?12??2检验统计量为 S12F?2~F(5, 5) （在H0成立时）, S2由??0.05,查得临界值F?/2?F0.025(5, 5)?7.15,F1??/2?由样本值算得F?1. 7.150.0000075?0.962,由于F1??/2?F?F?/2,故不能拒绝H10,即认为两批电子0.0000078元件的电阻的方差相等. (2) H0：?1??2， H1：?1??2. 统计量 T?(X?Y11(n?1)s?(n2?1)s?)1n1n2n1?n2?22122~t(10) （在H0成立时）, 查表得临界值t?/2?t0.025(10)?2.228.再由样本值算得 T?0.1405?0.1390.0000075?0.0000078125

?2.005,

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