MIT公开课-线性代数笔记

目录

方程组的几何解释 ................................................................................................................ 4 矩阵消元 ............................................................................................................................... 4 乘法和逆矩阵 ....................................................................................................................... 6 A的LU分解......................................................................................................................... 7 转置-置换-向量空间R .......................................................................................................... 9 求解AX=0：主变量，特解................................................................................................. 10 求解AX=b：可解性和解的解构 ......................................................................................... 11 线性相关性、基、维数 ....................................................................................................... 13 四个基本子空间 .................................................................................................................. 14 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 ........................................................................................ 15 图和网络 ............................................................................................................................. 16 正交向量与子空间 .............................................................................................................. 17 子空间投影 ......................................................................................................................... 20 投影矩阵与最小二乘 .......................................................................................................... 22 正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 ..................................................................................... 23 特征值与特征向量 .............................................................................................................. 29 对角化和A的幂 ................................................................................................................. 30 微分方程和exp(At)（待处理） .......................................................................................... 31 对称矩阵与正定性 .............................................................................................................. 31 正定矩阵与最小值 .............................................................................................................. 33 相似矩阵和若尔当型（未完成） ........................................................................................ 34

奇异值分解(SVD) ............................................................................................................... 35 线性变换及对应矩阵 .......................................................................................................... 36 基变换和图像压缩 .............................................................................................................. 38

NOTATION p：projectionvector P：projectionmatrix e：errorvector P：permutationmatrix

T：transport sign

C(A)：columnspace N(A)：null space U：uppertriangular L：lower triangular E：elimination matrix

Q：orthogonalmatrix, which the

means column vectors are orthogonal

E：elementary/elimination matrix, which always appears in the elimination of matrix N：null space matrix, the “solution matrix” of AX=0

R：reduced matrix, which always appears in the triangular matrix, “IF00” I：identity matrix S：eigenvector matrix Λ：eigenvalue matrix C：cofactor matrix

关于LINER ALGEBA名垂青史的分析方法： 由具象到抽象，由二维到高维。

方程组的几何解释

1. 行图像，列图像 2. 矩阵乘法：

方法一. 列向量的线性组合 方法二. 左行乘以右列

3. 矩阵右乘向量（竖直）：矩阵列的线性组合 4. 矩阵左乘向量（横平）：矩阵行的线性组合

矩阵消元

1. 课程目标：讨论消元法有效，以及无效的情况 用矩阵语言描述消元法

2. 消元有效和失效

a) 消元目标：把A矩阵化为U矩阵（主元不能出现0） b) 消元失效：主元是0：行交换可以解决主元为0的暂时性失效，但当底下的行中再也没有非0元素时，消元就彻底失效了。 3. 用矩阵来表示矩阵变换（消元） a) 例

：

?121??100??121???????目的：从r2中减去3倍r1381???????????310381????????041??001??041???????E21?121??100??121???????目的：从r3中减去2倍r202?2??????????01002-2??????

?0-21??005??041???????E32?100???310b) 针对上一例，假设总变换E=E32E21，E????，这个?6?21???矩阵对于消元法中出现的乘数来说太不直观了，然而E-1=E21-1E32-1,这个逆比较直观，因为它们是初等列变换的逆变换，只用改变乘数的系数就可以得到它们的逆，这就引出了下一章的内容：A的LU分解。

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=a??????+b??????+c??????+d?????? 4. 置换矩阵

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