3．曲线与方程、抛物线
1．(2017·江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F：y＝2px上．
(1)若△ABC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，
2
k3, 求－＋的值；
k1k2k3
(2)若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分1111
别为k1，k2，k3，k4，求－＋－的值．
111
k1k2k3k4
解 (1)由点A(1,2)在抛物线F上，得p＝2，∴抛物线F：y＝4x，
2
?y1??y2?设B?，y1?，C?，y2?， ?4??4?
1－
4y1＋2y2＋y12＋y2
∴－＋＝－＋＝－＋＝1. k1k2k3y1－2y2－y12－y24441
1
1
4
4
4
1111y1＋2y2＋y1y3＋y22＋y3?y3?(2)另设D?，y3?，则－＋－＝－＋－＝0.
k1k2k3k44444?4?
2．(2017·江苏赣榆中学月考)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，
2
22
y21
－1
2y2y12
－y22
y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴2＝2p×1，得p＝2，
故所求抛物线的方程是y＝4x，准线方程是x＝－1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 则kPA＝
2
2
2
y1－2y2－2
(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)． x1－1x2－1
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， ∴kPA＝－kPB，
由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，得
y21＝4x1，① y22＝4x2，②
∴
y2－2＝－， 1212y1－1y2－144
y1－2
∴y1＋2＝－(y2＋2)， ∴y1＋y2＝－4，
由①－②得直线AB的斜率
y2－y144kAB＝＝＝－＝－1(x1≠x2)．
x2－x1y1＋y24
→→
3．(2017·江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P满足AP·AF＝2→FP. (1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)在直线l：y＝2x＋2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N.问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． →→→
解 (1)设P(x，y)，则AP＝(x＋1，y)，FP＝(x－1，y)，AF＝(2,0)， →→→222
由AP·AF＝2|FP|，得2(x＋1)＝2?x－1?＋y，化简得y＝4x. 故动点P的轨迹C的方程为y＝4x.
(2)直线l方程为y＝2(x＋1)，设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
设过点M的切线方程为x－x1＝m(y－y1)，代入y＝4x，得y－4my＋4my1－y1＝0， 由Δ＝16m－16my1＋4y1＝0，得m＝，所以过点M的切线方程为y1y＝2(x＋x1)，同理过点
2
2
2
2
2
2
2
||
y1
N的切线方程为y2y＝2(x＋x2)．所以直线MN的方程为y0y＝2(x0＋x)，
2
又MN∥l，所以＝2，得y0＝1，而y0＝2(x0＋1)，
y0
?1?故点Q的坐标为?－，1?. ?2?
4．(2017·江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．
2
→→
(1)若TA·TB＝1，求直线l的斜率； (2)求∠ATF的最大值．
解 (1)因为抛物线y＝4x焦点为F(1,0)，T(－1,0)．
→→→→
当l⊥x轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA·TB＝0，与TA·TB＝1矛盾， 所以设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y＝4x，得kx－(2k＋4)x＋k＝0， 2k＋4
则x1＋x2＝2，x1x2＝1，①
2
2
22
2
2
2
k所以y1y2＝16x1x2＝16，所以y1y2＝－4，② →→
因为TA·TB＝1，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝1， 将①②代入并整理得，k＝4，所以k＝±2. (2)因为y1＞0，所以tan∠ATF＝
2
22
y11y11＝2＝≤1，当且仅当＝，即y1＝2时，x1＋1y1y114y1
＋1＋44y1
y1
ππ
取等号，所以∠ATF≤，所以∠ATF的最大值为. 44
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