计算方法简明教程插值法习题解析

第二章 插值法

1．当x?1,?1,2时，f(x)?0,?3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：

x0?1,x1??1,x2?2,f(x0)?0,f(x1)??3,f(x2)?4;l0(x)?l1(x)?l2(x)?(x?x1)(x?x2)(x0?x1)(x0?x2)(x?x0)(x?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x?x0)(x?x1)(x2?x0)(x2?x1)????161312(x?1)(x?2)

(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)则二次拉格朗日插值多项式为

2L2(x)??k?0yklk(x)

??3l0(x)?4l2(x) ???5612(x?1)(x?2)?243(x?1)(x?1)

x?32x?732．给出f(x)?lnx的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 -0.356675 0.8 -0.223144 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解：由表格知，

x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,x3?0.7,x4?0.8;f(x0)??0.916291,f(x1)??0.693147f(x2)??0.510826,f(x3)??0.356675f(x4)??0.223144

若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.5?0.54?0.6

l1(x)?l2(x)?x?x2x1?x2x?x1x2?x1??10(x?0.6)??10(x?0.5)

L1(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x) ?6.9314x7?(0?.6) (5.x1?0826?L1(0.54)??0.6202186??0.620219

若采用二次插值法计算ln0.54时，

l0(x)?l1(x)?l2(x)?(x?x1)(x?x2)(x0?x1)(x0?x2)(x?x0)(x?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x?x0)(x?x1)(x2?x0)(x2?x1)?50(x?0.5)(x?0.6)??100(x?0.4)(x?0.6)?50(x?0.4)(x?0.5)

L2(x)?f(x0)l0(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x)

??50?0.9162x91?(x0.?5)(?0.6)x69?.31x47?(0?.140)8(260.5?60)x(0?.05.4x)(?0.5?L2(0.54?)?0.61531?9?840 .6153203．给全cosx,0??x?90?的函数表，步长h?1??(1/60)?,若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当0?x?90时， 令f(x)?cosx 取x0?0,h?(160)????160??180??10800

令xi?x0?ih,i?0,1,...,5400 则x5400??2?90

?当x??xk,xk?1?时，线性插值多项式为

L1(x)?f(xk)x?xk?1xk?xk?1?f(xk?1)x?xkxk?1?xk

插值余项为

R(x)?cosx?L1(x)?12f??(?)(x?xk)(x?xk?1)

又?在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx??0,1?，故计算中有误差传播过程。

??(f(xk))?**12?10?5R2(x)??(f(xk))*x?xk?1xk?xk?1???(f(xk?1))*x?xk?1xk?1?xk??(f(xk))(??(f(xk))??(f(xk))**x?xk?1xk?xk?1x?xk?1xk?1?xk)

1h(xk?1?x?x?xk)?总误差界为 R?R1(x)?R2(x)???121212(?cos?)(x?xk)(x?xk?1)??(f(xk))?(x?xk)(xk?1?x)??(f(xk))?(12h)??(f(xk))?82***

?1.06?10?12?5?10?5?0.50106?104．设为互异节点，求证：

n（1）?xjlj(x)?x (k?0,1?,n, )j?0nkk（2）?(xj?x)lj(x)?0 (k?0,1?,n, )j?0k证明

（1） 令f(x)?x

kn若插值节点为xj,j?0,1,?,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)?(n?1)?xj?0kjlj(x)。

插值余项为Rn(x)?f(x)?Ln(x)?又?k?n,

?f(n?1)f(?)(n?1)!?n?1(x)

(?)?0?Rn(x)?0nk

??xjlj(x)?x (k?0,1?,n, )j?0nk(2)?(xj?x)lj(x)j?0nnjkk??(?Cj?0ni?0xj(?x)nk?iik?i)lj(x)

??Ci?0ik(?x)(?xjlj(x))j?0i又?0?i?n 由上题结论可知

n?xj?0kjjl(x)?x

in?原式??(x?x)?0?得证。

k?Ci?0ik(?x)k?ixi

5设f(x)?Cmaxf(x)?a?x?b2?a,b?且

f(a)?f(b)?0,求证：

182(b?a)maxf??(x).

a?x?b解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x)?f(x0)x?x1x0?x1x?ba?b?f(x1)x?x0x?x0

=?f(a)?f(b)x?ax?a

又?f(a)?f(b)?0?L1(x)?0

12插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)??f(x)?12f??(x)(x?x0)(x?x1)

f??(x)(x?x0)(x?x1)

又?(x?x0)(x?x1)?1????(x?x0)?(x1?x)???2???1414(x1?x0)(b?a)222

?maxf(x)?a?x?b182(b?a)maxf??(x).

a?x?b6．在?4?x?4上给出f(x)?ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10?6，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为xi?1,xi和xi?1，则分段二次插值多项式的插值余项为

R2(x)?13!f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1) 16(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)

?4?x?4?R2(x)?设步长为h，即xi?1?xi?h,xi?1?xi?h

164?R2(x)?e?233h?3327eh.

43若截断误差不超过10，则

R2(x)?10?32743?6?6eh?10?6

?h?0.0065.n447．若yn?2,求?yn及?yn.，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

yn?2

n

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