高三数学总复习 古典概型与几何概型 知识讲解 新人教A版

高考总复习：古典概型与几何概型

【考纲要求】

1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率； 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。 【知识网络】

【考点梳理】 知识点一、古典概型

1. 定义

具有如下两个特点的概率模型称为古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征

（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式

由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n种等可能的结果，那么

1。如果某个事件A包含m个基本事件，由于基本事件是互斥的，nm则事件A发生的概率为其所含m个基本事件的概率之和，即P(A)?。

n每一个基本事件的概率都是

所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：

P(A)?事件A包含的基本事件数

试验的基本事件总数4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数n；

（2）计算事件A包含的基本事件的个数m； （3）应用公式P(A)?m求值。 n

5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图；

（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。

知识点二、几何概型

1. 定义：

事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。

2.几何概型的两个特点：

（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式：

随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。

所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：P(A)??A ??其中??表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，?A表示构成事件A的区域的几何度量。

要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】 类型一、古典概型

【例1】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数；

（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解：

（1）算出基本事件的总个数n；

（2）计算事件A包含的基本事件的个数m； （3）应用公式P(A)?m求值。 n【解析】（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，

反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；

（2）基本事件的总数是8.

（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.

【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.

举一反三：

【变式】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：

⑴有一面涂有色彩的概率； ⑵有两面涂有色彩的概率； ⑶有三面涂有色彩的概率. 【解析】在1000个小正方体中：

一面涂有色彩的有8?6个，两面涂有色彩的有8?12个，三面涂有色彩的有8个，所以

2384?0.384； 100096?0.096； ⑵两面涂有色彩的概率为P2?10008?0.008 ⑶有三面涂有色彩的概率P2?1000⑴一面涂有色彩的概率为P1?【例2】抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率； （2）出现两个4点的概率.

【思路点拨】根据条件列举出事件A所包含基本事件个数。

【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元

素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.

（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，

1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.

（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，

4）.所以P（B）=.

【总结升华】在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式

P(A)?事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数

【例3】在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： （1）他获得优秀的概率为多少；

（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；

【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.

【解析】设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件．

（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，故．

（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故． 【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.

举一反三：

【变式】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

【解析】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，

右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）] 事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）== 【例4】甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.

（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?

（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和

为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.

【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.

【解析】（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为.

（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现12的只有一种情况，概率为.出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为.

【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.

举一反三：

【变式】某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；（2）选出的2名志愿者中1名是获得书法比赛一等奖，另1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.

【解析】把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4 . 2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5，6.

从6名同学中任选2名的所有可能结果如下：（1，2）, (1,3) , (1,4) , (1,5) ,(1,6), (2,3) ,(2,4),(2,5),(2,6), (3,4), (3,5),(3,6) ,(4,5), (4,6), (5,6),共15个. （1）从6名同学中任选2名，都是书法比赛一等奖的所有可能是（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个。

所以选出的2名志愿者都是书法比赛一等奖的概率P1?62? 153(2) 从6名同学中任选2名，1名是书法比赛一等奖，另1名是绘画比赛一等奖的所有可能是（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个。 所以选出的2名志愿者1名是书法比赛一等奖，另1名是绘画比赛一等奖的概率是

P2?8 15类型二、与长度有关的几何概型

1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为

P(A)?构成事件A的区域长度

试验的全部结果所构成的区域长度

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