第七届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(A)

第七届“学用杯”

全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题（Ａ）卷

（本卷满分150分，考试时间120分钟） 题 号 得 分 一 二 [来源学科网]三 四 总 分

温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 一、选择题（每小题5分，共30分）

1．C市的民用电价原来为0.52元/千瓦时，换装分时电表后，峰时段（早上8点至晚上21点）的电价为0.55元/千瓦时，谷时段（晚上21点至次日早上8点）的电价为0.35元/千瓦时．对于一个平均每月用电量为200千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为（ ） Ａ．108千瓦时 Ｂ．110千瓦时 Ｃ．118千瓦时 Ｄ．120千瓦时 2．Which of the following numbers should replace the question mark?（如图1）（ ） Ａ．926 Ｂ．417 Ｃ．318 Ｄ．172

3．某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B，C，D，E，F，G，H，I之间拟建立信息联网工程．实际测算的费用如图2所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线，就使得信息中心与各部门、各院系连通（直接或中转），则最少的建网费用是（ ） Ａ．12万元 Ｂ．13万元 Ｃ．14万元 Ｄ．16万元

[来源学科网]

4．Boris有一台出了问题的找零钱的机器，当放进一个QUARTER（25美分），从机器里出来5个NICKEL（5美分）；如果放入一个NICKEL，出来5个PENNY（1美分）；放入一个PENNY，机器里竟然出来5个QUARTER！请问：从放进1个PENNY开始，经过机器的若干次的循环运转，可能得到多少钱？（ ） Ａ．$3.63 Ｂ．$5.43 Ｃ．$6.30 Ｄ．$7.45

5．预测人口的变化趋势有多种方法，最常见的是“直接推算法”，使用的公式是

nPn?P，其中Pn为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口0(1?k)（k为常数，k??1）

数，k为预测期内年平均增长率，如果?1?k?0，那么在这期间人口数（ ） Ａ．呈上升趋势 Ｂ．呈下降趋势 Ｃ．先上升后下降 Ｄ．先下降后上升 6．从A点出发的一条光线在直线AD与CD之间反射了n次后，垂直地射到B点（该点可能在AD上，也可能在CD上），然后按原路返回点A，图3是n?4时的光路图．若

?CDA?8?，则n的最大值是（ ）

Ａ．9 Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12

二、填空题（每小题5分，共40分）

7．按照我国现行的税收征管办法，企业实际应缴纳增值税和教育附加费由以下公式计算： ①教育附加费?实际应缴纳增值税?3%； ②实际应缴纳增值税?销项税额?进项税额； ③销项税额?不含税销售额?17%；

④销售总收入?不含税销售额?销项税额．

（注：销项税额：纳税人销售货物或者提供应税劳务，按照销售额和条例规定的税率计算并向购买方或接收方收取的增值税额；进项税额：纳税人购进货物或者接受应税劳务，所支付或者负担的增值税额）

已知某企业某月的进项税额为8000元，该企业本月实际应缴纳增值税和教育附加费之和为9270元，则该企业本月的销售总收入为 元． 8．图4所示的螺旋线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的

?，?A1A2，?A2A3分别为以A，B，C为圆心，正三角形，曲线CA1以AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈，然后又以A为圆心AA3为半径画弧?，这样画到第n圈，则所得整条螺旋线的长度ln等于 ．（用π表示即可）

9．工商银行一年期定期储蓄年利率为3.87%．如果存款到期不取继续存于银行，银行自动将本金及95%的利息（5%的利息交纳利息税）自动转存为一年期定期储蓄．某人以一年期定期储蓄方式存入银行1万元，到期不取，则两年后，这笔存款扣除利息税后的本利和为 元．（精确到分）

10．化工厂的主控制表盘高1m，表盘底边距地面2m，则值班人员坐在距表盘水平距离 为 （设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2m） m时，表盘看得最清楚．

11．甲、乙两人分别在A，B两公司上班，2006年元月的工资相等，A公司工人的工资逐月增加，且每月增加的金额相同，B公司工人的工资也逐月增加，且每月增长的百分比相同，已知2007年元月两人工资又恰好相等，则2007年6月 工资高．（填甲或乙）

12．小易在瓜渚湖里划船，开始时看到“鉴湖明珠电视塔”在正西方，他沿南偏西60方向，以2.5米/秒的速度划了75秒后，加快了速度，以4.5米/秒划了25秒，此时看到塔在东北方，若沿途测得塔的最大仰角为60，则塔高为

?? ．（精确到米）

13．加工厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm和43cm长的两种规格的零件毛坯，

则最佳下料方案为 ，材料的利用率为 ． 14．邮政部门通过设邮政车厢的方式利用铁路网络进行邮包的投送．假设某次列车从石家庄到广州，共停留20个车站（包括广州站而不含石家庄站），每停靠一站都要卸下发往该城市的包裹一个，同时又装上该城市发往以后各个城市的包裹一个（石家庄站装上20个发往以后各个城市的包裹），则火车上的包裹数量最大时，为 个．

三、解答题（每小题20分，共60分） 15．嫦娥一号于10月24日18时05分在西昌卫星发射中心用长征三号甲火箭发射．其升空后，进入距地球表面近地点约为205公里、远地点约为50930公里的椭圆形轨道，实施4次变轨控制后，奔往38万公里（地球与月球表面最近距离）之外的月球，最终进入距月球表面约200公里的圆形绕月轨道．假设这两个轨道平面重合，在此平面内，以椭圆中心为原点，近地点A与远地点B所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把地球看作一个球体，地心设为椭圆的左焦点F1，月心置于x轴正方向上，求椭圆形轨道和圆形绕月轨道的方程．（地球半径约为6370公里，月球半径约为1738公里）

16．甲、乙两个同学结伴郊游，但只有一辆自行车，因此两人约定：甲骑车，乙步行，甲到某处后将车留下改为步行，乙到达甲留车处改为骑车，当乙超过甲适当的距离时，乙将车留下改为步行，甲到乙留车处改为骑车??如此反复轮换．已知两人骑车的速度均为15km/h，步行的速度均为5km/h，从起点到目的地的距离为15km，问最少需要多长时间两人都能到达目的地？

17．一种绿色农产品去年各季度的市场价格如下表： [来源学科网]季 度 每吨售价（元） 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 204.5 199.5 今年农贸公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”（即m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），可收购a万吨．政府为了实施惠农政策，鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，则预计收购量可增加2x个百分点．

（1）根据题中条件填空，m? 元/吨； （2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；

（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

四、开放题（本题20分）

18．证明：在交通繁忙的时段内，公路上汽车的车流量y（车辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系可设为y?195.5 200.5 nv(v?0)型的函数关系． 2v?bv?c（①车流量的定义：车流量y是1个单位时间在过一定点的截面通过的车辆数；②在交通繁忙的时段内，前后相邻的两辆汽车必须保持必要的车距，这个车距要保证后车看到前车因故停车的信息而采取刹车措施到后车完全停下，不会与前车追尾才行．刹车可看作匀减速运动．）

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛高二年级

初赛试题（A）卷参考答案

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．D

提示：1．假设该家庭每月在峰时段的平均用电量为x千瓦时，

0.52?200?[0.55x?0.35(200?x)]≥0.52?200?10%，解得x≤118．

H G F，A E 2 ????????????????????D 2 ????C 3 ????B，A 2 ????I连接，最少的建网费用为133．按A 万元．

6．如图1，设?1??，则?2??，?3??4???8， 同样的，?5??4?8??3?8． 一般地，?(2n?1)??(2n?1)?8．

∴{?(2n?1)}是以?为首项，8°为公差的等差数列．

?1111????(2n?1)???(n?1)8?，当?2n?1?90?时，n最大，即??(n?1)8??90?，

90???90?∴n??1≤??1． ?88∴n的最大值为12，故选（D）．

二、填空题（每小题5分，共40分） 7．117000 8．(3n?n)π

9．10748.82 10．1.2 11．乙 12．95米

13．60cm的毛坯截2根，43cm的毛坯截3根时为最佳下料方案；99.6% 14．110

提示：7．设企业实际应缴纳增值税为y元．由已知，实际缴纳的增值税和教育附加费之和

2?y?3%y?1.03y?9270，解得y?9000．

又销售总收入=不含税销售额+销项税额?1.17×不含税销售额?1.17?销项税额÷（实际缴纳增值税＋进项税额）（元）． 0.17?(1.17?0.17)??(1.17?0.17)?(9000?8000)?1170002π(1?2?3)，依此规律可知第二圈、第三圈，?的32π2π2π长度分别为(4?5?6)，(7?8?9)，?，即各圈长度构成了以(1?2?3)?4π为

333首项以6π为公差的等差数列，故前n圈的长即为此等差数列的前n项和，易求得其和为

8．据题意可知螺旋线第一圈的长度为

(3n2?n)π．

9．10000?(1?3.87%?95%)?10748.82． 10．如图2，CD?2?1.2?0.8，令AD?x，

2则tan??BD1.8CD0.8，tan??． ??ADxADx[来源学科网]∵tan??tan(???)?tan??tan?，

1?tan?tan?1.80.8?111xx?∴tan??， ≤?1.80.81.442.41.441??x?2x?xxxx∴当x?1.441，即x?1.2时，tan?取得最大值． x2.4π?2?又???0，?，∴tan?最大时，?也最大，

∴值班人员看表盘最清楚的位置为AD?1.2m． 即值班人员坐在距表盘水平距离为1.2m处．

11．甲、乙两人的工资数额从2006年元月起，分别构成等差数列

??{an}和等比数列{bn}．由2006年元月的金额相等，知a1?b1，由

2007年元月的金额相等，知a13?b13，an与n可视为一次函数型关系，bn与n可视为指数函数型关系，在同一坐标系中画出相应函数图象如图3，故乙工资高．

12．如图4，设塔高为AB，小易开始在C处，?C?30，

??FBD?45?，?DBC?180??45??135?，?D?15?，

CD?2.5?75?4.5?25?300．

DCDB在△DBC中，由正弦定理得， ?sin?DBCsin?C故DB?1502．

设小船划到E处，仰角最大，即?AEB最大，而tan?AEB?最大，BE应为B到DC的最短距离，所以BE?DC． 在Rt△DBE中，BE?DBsin15?75(3?1)； 在Rt△AEB中，AB?BEtan60?75(3?3)≈95米． 故塔高为95米．

13．设每根钢材可截成60cm及43cm长的毛坯分别为x根和y根，则有0.6x?0.43y≤2.5，

??AB，AB为定值，要使?AEBBE

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