运筹学复习题与答案

1. 某工厂生产过程中需要长度为3.1米、2.5米、1.7米的棒料，分别为200根、100根和300根。现有原料为9米的长棒材，问：应如何下料使废料最少？

下料方式有如下六种：

一、2根3.1米的和1根2.5米的，设此方式用x1次； 二、2根3.1米的和1根1.7米的，设此方式用x2次；

三、1根3.1米的、1根2.5米的和2根1.7米的，设此方式用x3次； 四、2根2.5米的和2根1.7米的，设此方式用x4次； 五、1根2.5米的和3根1.7米的，设此方式用x5次； 六、5根1.7米的，设此方式用x6次。

七、1根3.1米的和2根2.5米的，设此方式用x7次 八、3根2.5米，设此方式使用x8次

九、1根3.1米，3根1.7米，设此方式用x9次

模型如下：

min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9 2x1+2x2+x3+x7+x9>=200 x1+x3+2x4+x5+2x7+3x8>=100 x2+2x3+2x4+3x5+5x6+3x9>=300 x1,…,x9>=0,且为整数。

2. 某产品由2件甲零件和3件乙零件组装而成。两种零件必须在设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间，使每天的产量最大。

设x1、x2分别为每天加工甲、乙两种零件的件数，模型如下： max z=y

5x1+4x2<=960 9x1+10x2<=1440 4x1+6x2<=60 4x1+6x2>=-60 y<=x1/2 y<=x2/3 x1,x2,y>=0

3.有五项设计任务可供选择。各项任务的预期完成时间分别为3、8、5、4、10周，设计报酬分别为7、17、11、9、21万元。设计任务只能一项一项地进行，总的期限是20周。选择任务时必须满足下面的条件： （1）至少完成3项设计任务；

（2）若选择任务1，必须同时选择任务2； （3）任务3和任务4不能同时选择。

应当选择哪些设计任务，才能使总的设计报酬最大？ 设选择sj 时，xj=1,不选择sj时，xj=0,j=1,2…5

由题意可得整数规划模型如下： max Z=7x1+17x2+11x3+9x4+21x5 x1+x2+x3+x4+x5>=3 x1<=x2 x3+x4<=1

3x1+8x2+5x3+4x4+10x5<=20 xj=0或1（1，2,…5）。

4.某钢筋车间要制作一批钢筋（直径相同），长为3m的要90根，长为4m的要60根。已知原材料有两种规格：一种是10m长的，另一种是15m长的；原材料成本与其长度成正比，问如何下料，可使所用原材料最省？

10米的原材料的下料方式有如下三种：

一、2根3米的和1根4米的，设此方式用x1次； 二、2根4米的，设此方式用x2次； 三、3根3米的，设此方式用x3次；、 15米的原材料的下料方式有如下三种：

四、1根3米的和3根4米的，设此方式用x4次； 五、2根3米的和2根4米的，设此方式用x5次； 六、3根3米的和1根4米的，设此方式用x6次； 七、5根3米的，设此方式用x7次。 min z=x1+x2+x3+1.5(x4+x5+x6+x7) 2x1+3x3+x4+2x5+3x6+5x7>=90 x1+2x2+3x4+2x5+x6>=60 x1,x2,…x7>=0,且为整数

5.某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用最小。若10个井位的代号为s1,s2,…,s10,相应的钻探费用为c1, c2,…,c10，并且井位选择要满足下列3个条件，试建立此问题的数学规划模型。 条件（1）：s1，s2，s9中至少选一个；

条件（2）：选择了s3和s4就不能选s10，或反过来也一样； 条件（3）：在s5，s6，s7，s8中最多只能选两个。 设选择sj时，xj=1,不选择sj时，xj=0，j=1,2…10

由题意可得0-1规划模型如下： min Z=c1x1+c2x2+…c10x10

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=5 x5+x6+x7+x8<=2 x1+x2+x9>=1 x3+x4+2x10=2

xj=0或1(j=1,2,…10)6.有A、B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。

每一个单位的A产品需要前道过程2小时和后道过程3小时。每一个单位的B产品需要前道过程3小时和后道过程4小时。可供利用的前道过程时间有16小时，后道过程时间有24小时。每生产一个单位的B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。副产品C最多可售出5个单位，其余的

只能加以销毁，每个单位的销毁费用是2元。

出售A产品每单位可获利4元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。

建立总利润最大的线性规划模型。

设x1、x2和x3分别是产品A、产品B和副产品C的产量，x4是副产品C的销毁量，S是总利润

max S=4x1+10x2+3x3-2x4 -2x1+x3+x4=0 x3<=5

2x1+3x2<=16 3x1+4x2<=24

xj>=0(j=1,2,3,4)

7.某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：

(1)三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；

(2)只允许第一年年初投入，第二年末可收回。本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；

(3)于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回。本利合计为投资额的160%这类投资限额20万元；

(4)于三年内的第三年初允许投资，—年回收．可获利40%。投资限额为10万元。 试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。

设xij为第i年初投放到j项目的资金数，其数学模型为： max z=1.2x31+1.6x23+1.4x34 x11+x12=300000 x21+x23=1.2x11

x31+x34=1.2x21+1.5x12 x12<=150000 x23<=200000 x34<=100000

x11,x12,x21,x23,x31,x34>=0

8.一个投资者打算把它的100,000元进行投资，有两种投资方案可供选择。第一种投资保证每1元投资一年后可赚7角钱。第二种投资保证每1元投资两年后可赚2元。但对第二种投资，投资时间必须是两年的倍数才行。为了使投资者在第三年年底赚到的钱最多，他应该怎样投资? 把这个问题表示成一个线性规划问题。

设xi1和xi2是第一种方案和第二种方案在第i年年初的投资额，z是总利润 max z=3x22+1.7x31 x11+x12<=100 00 -1.7x11+x21+x22<=0 -3x12-1.7x21+x31<=0 x11,x12,x21,x22,x31>=0

9.某航空公司希望更有效地安排售票员的工作时间，以减少工资支出。每个售票员上班后将连续工作8个小时，假定每天的 8:00 至 24:00 为售票工作时间。应该如何计划每个时段初的上班售票员人数，建立售票员总人数最少的数学模型。 时8:00~1010:00~112:00~114:00~116:00~118:00~220:00~222:00~2 :00 2:00 4:00 6:00 8:00 0:00 2:00 4:00 段 需售票10 员数 8 9 11 13 8 5 3 设xj为第j时段开始来上班的人数（j=1,2…5） min S=x1+x2+x3+x4+x5 x1>=10 x1+x2>=8 x1+x2+x3>=9

x1+x2+x3+x4>=11 x2+x3+x4+x5>13 x3+x4+x5>=8 x4+x5>=5 x5>=3

xj>=0(j=1,2,…5),且为整数

10.某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如下表所示。 星期 需要人数 星期 需要人数 一 二 三 四 300 300 350 400 五 六 日 480 600 550 商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。 设xj(j=1,2,…7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员

min S=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 x1+x4+x5+x6+x7>=300 x1+x2+x5+x6+x7>=300 x1+x2+x3+x6+x7>=350 x1+x2+x3+x4+x7>=400 x1+x2+x3+x4+x5>=480 x2+x3+x4+x5+x6>=600 x3+x4+x5+x6+x7>=550

xj>=0;j=1,2,…,7,且为整数

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