复数与向量的关系

重视复平面上复数与向量的联系作用

平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情.

一 复数商与内积的联系

复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系.

例1 复数z1=a1+b1i, z2=a2+b2i，它们的三角式分别为z1=|z1|(cosθz2=|z2|(cosθ

+isinθ

1+isinθ

1),

22),对应的向量分别是oz1=(a1,b1)、oz2=(a2,b2).

然后复数作商: 代数式作商:

z1z2z1z2=

(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i|z2|2；-------------(1)

三角式作商：=

|z1||z2|[cos(θ

1-θ

2)+isin(θ

1-θ

2)],------(2)

比较(1)(2)式,可得

|z1||z2||z1||z2|[cos(θ

-θ12)]=

a1a2?b1b2|z2|2, ……(3)

[sin(θ

-θ12)]=

a2b1?a1b2|z2|2………(4)

则从中可得下列变式：

(1) 复数对应向量间的夹角余弦公式: cos(θ

-θ12)=

a1a2?b1b2|oz1|?|oz2| ,( 我們总可以适当选择θ

1、θ

2的主值范围，使得|θ

1-θ

2|∈[0,?)，所以oz1与oz2的夹角就是|θ

1-θ

2|).

(2) 向量内积:

oz1·oz2=a1a2+b1b2=|oz1|·|oz2|cos(θ

1-θ

2).

-θ

)|,

若对(4)取绝对值得到:|oz1×oz2|=|a1b

2|oz2|sin(θ-a2b1|=||oz1|·

12这是空间xoy平面上向量a?(a1,a2,0),b?(b1,b2,0)叉积的绝对值,是以线段oz1、oz2为邻边的平行四边形的面积公式.

复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式. 若复数代数式z1?x1?y1i,z2?x2?y2i的三角式分别是z1?r1(cos?1?isin?1),

z2?r2[cos(??2)?isin(??2)],然后,将它们的代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可

以得到上面的三个式子.数学中的这种相互包容联系,真是体现了数学中的统一和谐之美.

二 复数向向量表示上的转化联系

利用复数与向量的联系,复数可以向向量表示上的转化，使有些复数的问题转化为向量问题或构造向量图像去处理，借向量之力去解决复数问题.

例2 已知复数z1、z2的模为1，z1+z2?解：根据题意，设复数z1、z12?32i,求复数z1、z2.

2对应的向量为oz1、oz2，以这两个向量为邻边，边长为1，

构作一个平行四边形，并建如图1的直角坐标系.记z1?z2?z，对应向量oz.

z2 z1?z2=z ∵oz对应的复数是

o z1 x ∴|oz|?1，∠zoz1=600

?|oz1|?1 ∴?oz1z是正三角形, ?

12?32i

是正三角形. ? ozz2??oz1z ??ozz2

12321232∴z1?1 ,z2???i,或z1???i,z2?1.

本题在解题的思路上借助了复数向向量转化的作用.复数向向量转化是较常用的思想

方法.此题纯粹用代数方法去做,计算量是较大的.

(0??? 例3复平面内，已知动点A,B所对应的复数的辐角为定值，分别θ、-θ，

?2)，

O为原点，ΔAOB的面积是定值S，求ΔAOB的重心M所对应的复数模的最小值.图2.

解：根据题设，设向量OA、OB、OM对应复数z1、z2、z且 |OA|?|z1|?r1、|OB|?|z2|?r2、|OM|?|z|,则有

s?12r1r2sin2? , r1r2?1322ssin2?

∵OM?(OA?OB) 图2 19|OA?OB|?222∴ |OM|? =

1919(OA?OB)?(OA?OB)

(|OA|?|OB|?2OA?OB)

=

19(r1?r2?2r1r2cos2?)

22≥

492r1r29(1?cos2?)?29?2ssin2??2cos?

2=scot?

23scot?,即重心M所对应的复数模的最小值

23scot?∴ |z|=|OM|?2ssin2?（z1=(cos??isin?),z2?2ssin2?(cos??isin?)时，取最小值）.该题用向量

方法可较简捷获解.

复数向向量表示上的转化的特点是:能将复数条件化为特殊的向量图形, 或构造一个向量运算,然后,顺利进行推理运算,求得结果.

三 向量向复数表示上的转化联系

利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，使向量问题转化为复数问题或构造复数的结论去处理，借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感.

例4已知三个不共线的向量a,b,c,且a?b?c?0,证明:a,b,c可构成一个三角形. 证明:不妨设a,b,c对应复数的三角式分别为:r1(cos?1?isin?1),r2(cos?2?isin?2),

r3(cos?3?isin?3),且r1?r2?r3.

?a?b?c?o

?r1(cos?1?isin?1)?r2(cos?2?isin?2)?r3(cos?3?isin?3)?o ?r1cos?1?r2cos?2?r3cos?3?0......(1) r1sin?1?r2sin?2?r3sin?3=0………(2)

222由(1),(2)解得r3?r1?r2?2r1r2cos(?1??2)

?a,b,c不共线,??1??2?k?(k?Z) ??1?cos(?1??2)?1

?r1?r2?2r1r2?r3?r1?r2?2r1r2

22222?r2?r1?r3?r2?r1

?a,b,c可构成一个三角形.

从证明过程知道,其逆也成立的,故此命题可写成充要条件的形式.

该题纯粹用向量概念去证明是比较简单的,但学生听了后,并觉得没有复数解明白.

向量向复数表示上的转化的特点是:转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成.

四 复数与向量并用联系 用多种形式表示一个命题的方法,在数学中是常用的手段，而且是常用常新，也是知识、思想、方法融会贯通的重要途径.如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题的处理自然要选择合适的形式来表示，或者是两者并用，实现相互左证,这样可以使问题明了简单.

例5已知线段AB的中点C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD和BFCG,又作平行四边形CFHD和CGKE,求证H、C、K三点在一条直线上,且CK=CH,如图3.

证明:以C为原点,AB为X轴建立直角直角坐标系.

设向量CB、CF、CD对应复数z1，zCA、CG、CE对应复数分别为?z1、z12,z3那么,向量

?z2、?z1?z3；

又CH?CF?CD、CK?CG?CE分别对应复数

z2?z3、(z1?z2)?(?z1?z3)

∵

z2?z3(z1?z2)?(?z1?z3)??1，

图3 ∴ CHCK??1，

∴CH、CK平行，但又有公共点C，故H、C、K三点共线,且CK=CH. 例6已知Pk(k=1,2,……,n)是单位圆上的n个等分点,P是该圆上任意一点,求证

222 |pp1|?|pp2|?......?|ppn|为一定值.如图4.

证明:以单位圆的圆心O为直角坐标的原点,OPn为X轴,建立坐标系,则∠

pnopk?2?kn (当k=n时,假定此角为2?),

zk?cosnnk∵ 点pk对应的复数三角式为n2?knk1?sin2?knni,对应向量是opk,则其长

为1,向量和?opk对应于复数和k?1?zk?1??zk?1?0,即?opk?0.

k?1222222∴ |pp1|?|pp2|?......?|ppn|=|pp1|?|pp2|?......?|ppn|

=(op1?op)?(op1?op)?(op2?op)?(op2?op)?.....?(opn?op)?(opn?op)

=|op1|2?|op2|2?......?|opn|2?n|op|2?2op?(op1?op2?......opn) =2n-2op?o=2n,为定值.

在这两个问题解决的过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间的等价结论.复数与向量并用的特点是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自的范围内有顺利进行计算推理的可能.

在平面图中，证明点共线，直线平行，直线垂直，判断三角形的形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题的,从而实现共同之目的.

复数与平面向量之间的联系是很多的，既有数形联系,又有等价结论联系.用好这些联系的意义是很大的.在教学中能揭示这些联系，可以活跃思维，培养兴趣，提高学习的积极性,提高学习的效率. 要牢固掌握这些联系，关键在平时要理清复数与向量的对应联系，并把它们装在心中，拿在手中，落实在应用中,千万别将它们分离.

例4已知pk(k?1,2,.....,n)是单位圆上的n个等分点(按逆时针排列)，o是原点，求证：

n?opk?1k?o

证

pnopk?:以单位圆的圆心O为直角坐标的原点,OPn为X轴,建立直角坐标系,则∠

2?kn (当k=n时,假定此角为2?).

zk?cosnk∵ 点pk对应的复数三角式为nn2?kn?sin2?kni,对应向量是opk,则其长

为1,向量和?opk对应于k?1n?zk?1??zk?1k1?0,

∴ ?opk?0.

k?1这种等分圆周的有关向量求和问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求和来完成.

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