电磁场习题解2(下)(西安交通大学)

2-36.由无限大的导电平板折成45的角形区，在该角形区中某一点(x0,y0,z0)有一点电荷q，用镜像法求电位分布。

解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为(x0,y0,z0)，在圆柱坐标系中为(?0,?0,z0)，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为

??i??0;zi?z0 i?1,?7

?1?900??0;?2?900??0;?3?1800??0;?4?1800??0;?5?2700??0; ?6?2700??0;?7???0

镜像电荷为q1??q;q2?q;q3??q;q4?q;q5??q;q6?q;q7??q 对于场点(x,y,z)，电荷到场点的距离矢量为

??(y?yi)y??(z?zi)z?；i?0,?7 ri?(x?xi)x??则场点的电场为E(r)??ri ?34??0i?0riq7?

题2-36图 题2-37图

2-37.半径为a，带电量为Q的导体球附近距球心f处有一点电荷q，求点电荷q所受的力。 解：点电荷q 受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷q'的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷q\的力。由镜像法，镜像电荷q'的大小和位置分别为

aa2 q'??q;d?

ff由于包围导体球的总电量为Q，所以位于位于球中心的点电荷q\=Q-q';因此点电荷q 受到的力为

? F?x?qQ?aq/faq/f[?] 224??0f(f?d)2-38.内外半径分别为a、b的导电球壳内距球心为d(d

(1)导电球壳电位为零； (2)导电球壳电位为V；

(3)导电球壳上的总电量为Q； 分别求导电球壳内外的电位分布。 解：（1）导电球壳电位为零

由于导电球壳电位为零，导电球壳外无电荷分布，因此导电球壳外的电位为零。 导电球壳内的电位的电位由导电球壳内的点电荷和导电球壳内壁上的电荷产生，而导电球壳内壁上的电荷可用位于导电球壳外的镜像电荷等效，两个电荷使导电球壳内壁面上的电位为零，因此镜像电荷的大小、距球心的距离分别为

aa2 q'??q；f?

dd导电球壳内的电位为 ??qq'{?} 4??0r1r2q其中r1、r2分别为场点与点电荷及镜像电荷的距离，用圆球坐标表示为 r1?r2?d2?2rdcos?

2a22a2 r2?r?()?2r()cos?

dd（2）导电球壳电位为V

当导电球壳电位为V时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，其电位满足 ??利用边界条件得 ??c rbV r导体球壳内的电位可看成两部分的叠加，一部分是内有点电荷但球壳为零时的电位，这一部分的电位同前；另一部分是内无点电荷但球壳电位为V时的电位，这一部分的电位为V。因此导电球壳电位为V时，导电球壳内的电位为 ??qq'{?}?V 4??0r1r2q其中r1、r2分别为场点与点电荷及镜像电荷的距离。

(3)导电球壳上的总电量为Q

当导电球壳上的总电量为Q时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，导电球壳内的总电量为Q+q,其电位满足

??Q?q 4??0rQ?q 4??0b导电球壳上的电位为U?同上得，导电球壳内的电位为 ??qq'{?}?U 4??0r1r2q 题2-38图 题2-39图

2-39.无限大导电平面上有一导电半球，半径为a，在半球体正上方距球心及导电平面h处有一点电荷q，求该点电荷所受的力。

解：要使导体球面和平面上的电位均为零，应有三个镜像电荷，如图所示。三个镜像电荷的

aa2a2;?q',z??;?q,z??h 电量和位置分别为q'??q,z?hhh点电荷q所受的力为三个镜像电荷的电场力，即

??q2a/ha/h1 F?z{???} 222224??0(h?a/h)(h?a/h)(2h)力的正方向向上。

2-40. 无限大导电平面上方平行放置一根半径为a的无限长导电圆柱，该导电圆柱轴线距导电平面为h，求导电圆柱与导电平面之间单位长度的电容。

解：如果无限长导电圆柱上有电荷线密度?l，导电平面可用镜像位置的线电荷等效，镜像电荷线密度为-?l。由导体圆柱的镜像法可求得导体圆柱的电位?，那么，单位导体圆柱与导电平面之间的电容为 C??l??ln(2??0h?h?a)a22

题2-40图

2-41. z>0半空间为介电常数为?1的介质，z<0半空间为介电常数为?2的介质，在界面两边距界面为h的对称位置分别放置电量分别为q1和q2的点电荷。分别计算两个点电荷所受得力。

解：利用镜像法，计算z>0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(b)，计算z<0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(c)。这样上半空间的电位可表示为 ?1?14??1(q1q'2?) r1r2式中r1为q1到场点的距离，r2为q1的镜像位置的电荷q'2到场点的距离；下半空间的电位可表示为 ?2?14??2(q2q'1?) r3r4式中r3为q2到场点的距离，r4为q2的镜像位置的电荷q'1到场点的距离。利用边界条件，

?1??2和D1n?D1n得

ss (q1?q'2)/?1?(q'1?q2)/?2 (q1?q'2)?(q'1?q2) 由此得 q'1?2?2???2q1?1q2

?1??2?1??22?1???2q2?1q1

?1??2?1??2 q'2?q1和q2所受的斥力分别为

F1?q1q'2q'1q2 F?22216??1h16??2h(a) (b) (c)

题2-41图

2-42.真空中半径为a的导体球电位为V，求电场能量。 解：用两种方法求解。 1）用电位求电场能量 We?11?q??2C?2??0aV2 222）用电场强度求电场能量

导体球内的电场强度为零，导体球外的电场强度为 Er?电场能量为

aV 2r?11aV We?????0E2dV??0?(2)24?r2dr?2??0aV2

22arV2-43.圆球形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为?1、?2的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。 解：设圆球形电容器内导体上的电荷为 q，由高斯定理可求得在内外导体之间 Dr?q 4?r2cb从而可求得内外导体之间的电压为

bV??Erdr??(Dr/?1)dr??(Dr/?2)dr?aacq111111{(?)?(?)} 4??1ac?2cb圆球形电容器的电容为 C?q?V4??1?2

1111?2(?)??1(?)accb电场能量为

12 We?VC?2

2??1?2V2

1111?2(?)??1(?)accb

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