概率论与数理统计作业卷及参考答案

本科概率论与数理统计作业卷(一)

一、填空题

1.设随机事件A,B及其和事件A?B的概率分别是0.4,0.3和0.6.若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P(AB)?____.

解因为事件A与B同时发生时,事件C必发生就意味着AB?C,因此P(C)?P(AB)又由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)所以P(C)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1所以应选(C).

2.已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p,则P(B)?____.

解?A?B?AB,P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)又P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(AB)所以应填1?p.3.设P(A)?P(B)?P(C)?概率为______.11,P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?,则事A,B,C都不发生的48?P(A)?P(B)?1,即P(B)?1?p分析问题是求P(ABC),为了与已知条件联系起来，由概率性质有P(ABC)?1?P(A?B?C),而P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC).于是问题归结为求P(ABC),注意到P(AB)?0, ABC?AB,即有P(ABC)?0,通过计算得P(ABC)?故应填7.127,124.把10本书随意放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为_____. 3!?8!解把3本书视为一组，与另外7本全排列，则指定的3本书放在一起的概率为10!

1应填.15二、选择题

1.当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是(A)P(C)?P(AB)(C)P(C)?P(A)?P(B)?1(B)P(C)?P(A)?P(B)(D)P(C)?P(A)?P(B)?1

1

解因为事件A与B同时发生时,事件C必发生就意味着AB?C,又由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)因此P(C)?P(AB).所以应选(C).所以P(C)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1

2.掷两枚骰子，则最小点是2的概率为1124 (A)(B)(C)(D)4657解事件总数为6?6?36,两点皆为2或一个点为2、另一个点大于2, 91111?C2?C4?9，故P??.3643.在数集{1,2,3,4,5}红依次取出三个数，记A?\取出三个数依次为1,2,3\(I)若依次取出，取后放回，此时记p1?P(A);(II)若依次取出，取后不放回，此时记p1?P(A);(II)若依次取出，取后不放回，此时记p2?P(A)，则(A)p1?p2(C)p1?p2解(A).

(B)p1?p2(D)无法比较p1，p2的大小无论哪一种取法有利于A的基本事件只有一个.而“取后放回”

试验的基本事件总数多于“取后不放回”，因此P1?P2,选择(A).事实上，p1?P(A)?1,35p2?P(A)?11?3?p1.5?4?354.袋中装有2个伍分，3个贰分，5个壹分的硬币，任取其中5个，则总币值超过一角的概率为(A)14(B)12(C)23(D)34

解12C2?C32?C71p??. 52C10三、计算证明题

1.一批产品共200个，有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有1个是废品的概率；(3)任取3个全非废品的概率。6解(1)P(A)??0.03200(3)P(A0)?CC3194320012C6C194(2)P(A1)??0.08553C200

?0.9122 2

2.一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，它们单独烧断的概率分别为0.8和0.9，同时烧断的概率为0.72，求电 流强度超过这一定值时，至少有一根保险丝被烧断的概率.解设A、B分别表示甲、乙保险丝被烧断，由性质6得所求概率为P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.8?0.9?0.72?0.98

3.从0，1，2，?，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A1?{三个数字中不含0和5}，A2?{三个数字中含0但不含5}解从0，1，2，?，9十个数字中任意选出三个不同数字的所有选法即从十个数3字中任意选三个不同数字的全部组合数为C10，它就是所研究的概率空间中的全

部基本数，而A1所含的基本条件数为C83，它是从0，1，2，?，9等八个数字中任意选三个不同数字的组合数.因此P(A1)?C833C10?715同理，A2所含的基本事件数为C82，因为三个数字中有一个一定是0，而另2个不同数字必须从1，2，3，4，5，6，7，8，9八个数字中任意选取，所以P(A2)?C823C10?7301的概率.44从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于

1设两个数分别为x和y,有0?x?1,0?y?1,需要求事件{xy?}的概率,4把(x,y)看作平面上的一个点,则(x,y)在边长为1的正方形内等可能取值解1.正方形面积为1.满足xy?的全体点(x,y)构成平面区域D,D的面积为41111S?1??1(1?)dx??ln24x4241S11则P{xy?}???ln2.4142

本科概率论与数理统计作业卷(二)

一、填空题

11.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生 9的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)?____.

3

解1由题设A、B相互独立，即P(AB)?P(A)P(B),且P(AB)?,9P(AB)?P(AB),即有1?P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)??9???P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)1?1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2也即?9?1?2P(A)?P(A)?9?P(A)?P(B)?142解得P(A)?1??,P(A)?或P(A)?3332由于P(A)?1,故P(A)?3

2.掷一不均匀硬币，已知在4次投掷中至少一次出现正面朝上的概率 80为，则在一次投掷中正面朝上的概率为_____.81解设一次投掷中正面朝上的概率为p,则由题意80100P(A)?C4p(1?p)4?,即(1?p)4?,得81812

p?.33.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，

抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为______.分析设A表示事件{第一次抽取的是正品}B表示事件{第二次抽取的是次品}51则P(A)?,P(A)?6621且P(B|A)?,P(B|A)?111152111且全概率公式知P(B)?P(A)·P(B|A)?P(A)P(B|A)?·?·?61161161故应填.64.设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则至少发生一次的概率为_________.至多发生一次的概率为_________.解设B表示事件{n次独立实验中，事件A至少发生一次}，C表示事件{n次独立实验中，事件A至多发生一次}，P(B)?1?P(B)?1?(1?p)n所以应分别填nnP(C)?(1?p)n?np(1?p)n?1n?11?(1?p)和(1?p)?np(1?p)

4

二、选择题

1.将一枚骰子先后掷两次，设X1,X2分别表示先后掷出的点数.记A?{X1＋X2＝10}，B?{X1?X2}，则P(B|A)?(A)13(B)14(C)25(D)56

解事件A有三种情况：4,6;5,5;6,4.事件B只有一种情况：6,4故应选(A) 2.设A与B为对立事件，P(A)?0，P(B)?0，则错误的是(A)P(AB)?0(C)P(A|B)?0解应选(D)3.设A、B、C三个事件两两独立，而A、B、C相互独立的充分必要条件是(A)(C)A与BC独立AB与AC独立(B)(D)AB与A?C独立A?B与A?C独立(B)P(A?B)?1(D)P(B|A)?0

解：由P(AB)＝P(A)?P(B)，P(AC)＝P(A)?P(C)，P(BC)＝P(B)?P(C)知A，B，C互相独立?P(ABC)＝P(A)?P(B)?P(C)?P(ABC)＝P(A)?P(BC) ?A与BC独立。故应选(A)4.仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率为2%;乙厂生产的为2000支，次品率为3%;丙厂生产的为3000支，次品率为4%.如果从中随机地抽取一支，发现为次品，则该次品是甲厂产 品的概率为___.(A)10%(B)20%(C）30%(D)15%解(A)A1,A2,A3分别表示抽得灯管来自甲乙丙三厂，C表示抽得灯管为次品,于是123,P(A2)?,P(A3)?666 P(A1)P(C|A1)?0.1P(A1)P(C|A1)?P(A2)P(C|A2)?P(A3)P(C|A3)P(C|A1)?0.02,P(C|A2)?0.03,P(C|A3)?0.04P(A1)?由贝叶斯公式得P(A1|C)?三、计算、证明题

1.设某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4.如果现在有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的 概率是多少？

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