第19届华杯赛高年级c组解答1

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2014华杯赛落下帷幕，现将高年级c组题发给大家分享一下。由于时间仓促如有不足，请孩子们发现后提出来哈。希望孩子们空的时候多看看，找找自己的差距。“见了便做做，做了便了，了了有何不了？慧生于觉，觉生于自在，生生还是无生！”

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学高年级组)

(时间：2014年4月12日10：00~11：30)

一、填空题(每小题10分，共80分)

3.2－2.952×0.31、计算： ＋ =________________。

12

0.25×2＋ 2.3－1 45

答案为1（考点：计算能力）【我们在加课时讲过4次的类型题。】

2、在右边的算式中, 每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个, 相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字. 则“数学竞赛 ”所代表的四位数是__________。

分析：”数学”为19，那么“竞赛”=（2024-1900）÷2=62，答案为1962.【此题的解题方法我们在四年级的那本书上讲过数字谜类型与计数法。】

3、如右图, 在直角三角形 ABC 中, 点 F 在 AB 上且 AF=2FB,四边形 EBCD 是平行四边形, 那么FD: EF为________。

分析与解答：EB∥AC那么△EFB和△DFA是一组漏斗，FD：EF=AF:FB=2：1【我们讲过的漏斗】

4、右图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图, 上面标

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出了若干个点. 一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面. 如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米, 向下爬行的速度为每秒 3 厘米, 水平爬行的速度为每秒 4 厘米, 则蚂蚁至少爬行了________秒。

分析：横向距离12×2+8×2=40用10秒。向上、向下距离一样：12×2+2×6=36用18秒，12秒。共耗时40秒。【此题为长方形周长类型，四年级讲过类型】

5、设a、b、c、d、e均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a＋2b＋3c＋4d＋5e=300，则a＋b的最大值为___________。

分析：a，b，c，d，e连续时符合题。A，b，c，d，e分别为1，2，3，4，5。a＋2b＋3c＋4d＋5e=55，如果他们分别加上一个那么，总和将多15.（300-45）÷15=16?5多余的部分职能放在e上（e多一个）。所以1+16=17,2+16=18 17+18=35.【五年级讲过的极值】 6、现有甲、乙、丙三个容量相同的水池. 一台 A 型水泵单独向甲水池注水, 一台B型水泵单独向乙水池注水, 一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水。已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时, 注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时, 则注满丙水池的三分之二需要________个小时。

分析与解答：【相当于行程问题中我们讲过的开方类】。丙池的注满时间（秒杀）为4×9=62

×6，丙池注满时间为6小时。所以注满三分之二需要6× =4小时。

3

7、用八块棱长为 1 cm 的小正方块堆成一立体, 其俯视图如右图所示, 问共有______种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）。

分析与解答：底层要用4个，剩下4个放在上面。

4=1×4（一种）4=2+1+1（三种）4=2+2（两种）4=1+3（三种）4=1+1+1+1（一种）一共有10种。

8、如右图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE= 3AE ，CD=4BD。连接CF 交DE于 P 点,EP

求 的值是________。 DP

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144

连接FE，FD。利用“共边定理”和“鸟头”来解答。△CDF的面积= × = △FAC

351532114

的面积= × = 根据共边定理可以知道EP：DP= ： =15:8【此题的方法我们都讲

432215过】

二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）

9、有三个农场在一条公路边, 分别在下图所示的 A, B 和 C 处. A 处农场年产小麦 50 吨, B 处农场年产小麦 10 吨, C 处农场年产小麦 60 吨. 要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦. 假设运费从 A 到C 方向是每吨每千米 1.5元，从 C 到 A 方向是每吨每千米 1 元。问仓库应该建在何处才能使运费最低？

【此题是我们刚讲过的统筹原理】 分析与解答：

1、假设在AB之间建立仓库，设到A的距离为x千米。

那么总费用为：50x×1.5+10（500—x）×1+60（1700—x）×1整理得到：5x+107000为了使这个总费用最小。由于107000一定了，所以要让5x尽量小，所以x=0即设在A点总费用为107000元。

2、假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处.

那么总费用为50(500+y)×1.5+1.5×10y+60(1200-y)×1整理得到：109500+30y，同理最小费用为109500此时设在B点。

综上所诉设在A点，最低费用为107000元。 10、把

1220122013 ， ，?， ， 中的每个分数都化成最简分数, 最后得到的以 2014 2014201420142014

为分母的所有分数的和是多少？【此题是我们讲过的欧拉函数和合2为1，此题基本是我们讲过的原题】

11852由于2014=2×19×53 。利用欧拉函数可以知道最简分数的个数为：2014× × ×

21953=936个，所以总和为：936÷2=468

11、上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的 (a), (b) 和 (c). 现有 5块一颗星, 2块两颗星和 1块三颗星的积木, 如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条, 那么一共有多少种不同的摆放方式？(下图 (d) 是其中一种摆放方式).

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分类计数法，组合。

5=1+2+2 此类为三个选一个C31=3 5=1+1+1+1+1此类只有1种 5=2+3此类为2种 (2×1) 5=3+1+1此类为3种(C31=3) 5=2+1+1+1此类为4种。(C41=4) 一共有13种。

12. 某自然数减去 39 是一个完全平方数, 减去 144 也是一个完全平方数, 求此自然数. 分析与解答【此题是我们书上平方数,奇偶性,平方差公式】 令这类自然数为A，根据题目意思可以得到： A-39=x2 A-144=y2

显然x2- y2=144—39 得到（x+y）（x-y）=105 ，x+y与x-y都是105的因数。那么x-y的值只可能为：1、3、5、7.那么x+y的值分别为105、35、21、15，根据和差问题分别得到x为53,19,13,11那么自然数A与之对应的结果分别为：2848,400,208,160。

三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）

13、如右图, 圆周上均匀地标出十个点. 将 1～10 这十个自然数分别放到这十个点上. 用过圆心的一条直线绕圆心旋转, 当线上没有标出的点时, 就把 1～10 分成两组. 对每种摆放方式, 随着直线的转动有五种分组方式. 对于每种分组都有一个两组数和的乘积,记五个积中最小的值为 K. 问所有的摆放中, K 最大为多少?

【此题我们四年级讲过的极值问题，以及和一定差越小积越大这个知识点】

分析与解答：由于两组数的和都是55，那么和一定要让乘积最大，那么这两组数的差尽量小，由于和是55为奇数，那么差也为奇数，所以最小差为1，那么这两组和为27和28.（验证5个数和为27可以办到）所以最大值为27×28=756.

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n

14、将每个最简分数 （其中 m, n 为互质的非零自然数）染成红色或蓝色, 染色规则如下:

m1) 将 1 染成红色; 2)相差为 1 的两个数颜色不同, 3) 不为 1 的数与其倒数颜色不同. 问: 20132

和 分别染成什么颜色? 20147

（官方答案：蓝色和红色）

13579221

解析： , , , , ?以上分数，奇数为红色。1与 相差1，所以 蓝色那么它的倒数 为

111111123579111372

红色，相差1的数： ?均为蓝色，所以 的倒数 为红色。

22222227

20131201420142013

为红色，那么倒数 为蓝色，相差1的 为红色，所以 的倒数 为蓝12013201320132014色。

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