第十章动量定理习题解答

习 题

10-1 计算图10-7所示各种情况下系统的动量。

(1) 如图10-7a所示，质量为m的匀质圆盘沿水平面滚动，圆心O的速度为v0；(2) 如图10-7b所示，非匀质圆盘以角速度?绕O轴转动，圆盘质量为m，质心为C，偏心距OC=a；(3) 如图10-7c所示，胶带轮传动，大轮以角速度?转动。设胶带及两胶带轮为匀质的；(4) 如图10-7d所示，质量为m的匀质杆，长度为l，绕铰O以角速度?转动。

图10-7

(a) p?mv0；

(b) p?ma?（方向与C点速度方向相同）； (c) p?0；

(d) p?ml?2 （方向与C点速度方向相同）。

10-2 如图10-8所示，椭圆规尺AB的质量为2m1，曲柄OC的质量为m1，而滑块A和B的质量均为m2。已知：OC=AC=CB= l；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O轴转动的角速度?为常量。当开始时，曲柄水平向右，试求此时质点系的动量。

图10-8

方法一

p?mAvA?mBvB??m2vA?m2vB??m2(vA?vB)?mOCvC?mABvC 2m1vC?2m1vC 25m1vC 2因 vC?l?(?sin?i?co?sj)

vA?2l?cos?j vB??2l?sin?i

故

?j?2l?sin?i)? p?m2(2l?cos ?5m1l?(?sin?i?cos?j) 25m1?4m2l?(?sin?i?cos?j) (与vC方向相同) 2方法二

规尺AB、滑块A和B质心C处，质量为2(m1+m2) 因此系统质心在OC上，离O轴距离

- 1 -

l5m1?4m2m1??2(m1?m2)ll22 ???mm质心速度

p?mv??m???5m1?4m2l? (方向垂直于OC) 2

10-3 跳伞者质量为60kg，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重不计。开伞后阻力不变，经5s后跳伞者的速度减为4.3m/s。试求阻力的大小。

v1?2gh a?v2?v1v2?2gh ?t2t2m(v2?2gh)

t2mg?F?ma?F?m(g?v2?2gh) t24.3?2?9.8?100)?60(9.8?7.994)4?106.77N

5 ?60(9.8? 10-4 图10-9所示浮动起重机举起质量为m1=2000kg的重物。设起重机质量为m2=20000kg，杆长OA=8m；开始时与铅直位置成60°角。水的阻力与杆重均略去不计。当起重杆OA转到与铅直位置成30°角时，试求起重机的位移。

图10-9

设起重机向左移动s，则重物向右移动 OA(sin60??sin30??s) 质心运动守恒xC=常量

m1[OA(sin60??sin30?)?s]?m2s?0

mOA(sin60??sin30?) s?1m1?m2?2000?8?(3?1)/2?0.2662m

22000

10-5 如图10-10所示，两小车A和B的质量分别为600kg和800kg，在水平轨道上分别以匀速vA=1m/s，vB=0.4m/s运动。一质量为40kg的重物C以俯角30°，速度vC=2m/s落入A车内，A车与B车相碰后紧接在一起运动。试求两车共同的速度。摩擦忽略不计。

- 2 -

图10-10

动量守恒

px1?mAvA?mBvB?mCvCcos30?

px2?(mA?mB?mC)v

mAvA?mBvB?mCvCcos30??(mA?mB?mC)v

mv?mBvB?mCvCcos30? v?AA

mA?mB?mC600?1?800?0.4?40?2? ?600?800?4032?920?403?0.6870m/s

1440

10-6 平台车质量m1=500kg，可沿水平轨道运动。平台车上站有一人，质量m2=70kg，车与人以共同速度v0向右方运动。如人相对平台车以速度vr=2m/s向左方跳出，不计平台车水平方向的阻力及摩擦，试问平台车增加的速度为多少?

动量守恒

px1?(m1?m2)v0

px2?m1(v0??v)?m2(v0??v?vr)

m1(v0??v)?m2(v0??v?vr)?(m1?m2)v0

m2vr70?2140?v????0.2456m/s

m1?m2500?70570

10-7 如图10-11所示，质量为m1的平台AB放于水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦因数为?。质量为m2的小车D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为s=0.5bt 2，其中b为常数。不计绞车的质量，试求平台的加速度。

图10-11

设平台向左运动的速度为v，则小车D向右运动的速度为vr - v

px??m1v?m2(vr?v)

?Fxe??FN??(m1?m2)g

由动量定理

dpxe ??Fixdt得

?m1a?m2(ar?a)??(m1?m2)g

ma??(m1?m2)gm2b??(m1?m2)ga?2r?

m1?m2m1?m2

10-8 图10-12所示机构中，鼓轮A质量为m1。转轴O为其质心。重物B的质量为m2，重物C的质量为m3。斜面光滑，倾角为?。已知重物B的加速度为a，试求轴承O处的约

- 3 -

束反力。

图10-12

由质心运动定理

maCx??FxemaCy??Fye得

m3Racos??FOx?FNsin? rRRFOx?m3acos??FNsin??m3acos??mgcos?sin?

rrRm3asin??m2a?FOy?(m1?m2?m3)g?FNcos?

rRFOy?m3asin??m2a?(m1?m2?m3)g?FNcos?

rR?m3asin??m2a?(m1?m2?m3)g?mgcos2?

r

10-9 如图10-13所示，质量为m的滑块A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k的弹簧一端与滑块相连，另一端固定。杆长度为l，质量可忽略不计，A端与滑块铰接，B端装有质量为m1的小球，在铅垂面内绕A点转动。设在力偶M作用下转动角速度w为常数。试求滑块A的运动微分方程。

图10-13

mx?m1(x?lsin?t)mlsin?t xC??x?1m?m1m?m1质心运动定理

?C??Fxe (m?m1)?x??m1l?2sin?t??kx (m?m1)?x??kx?m1l?2sin?t (m?m1)?xkm1l?2???xx?sin?t

m?m1m?m1

10-10 如图10-14所示，均质杆OA长2l，质量为m，绕着通过O端的水平轴在铅直面

内转动，转到与水平线成f角时，角速度与角加速度分别为w及a。试求此时O端的反力。

图10-14

由质心运动定理

maCx??FxemaCy??F得

ey

nτm(?aCcos??aCsin?)?FOx

- 4 -

nτFOx??m(aCcos??aCsin?)??ml(?2cos???sin?)

nτm(aCsin??aCcos?)?FOy?mg

nτFOy?m(aCsin??aCcos?)?mg?ml(?2sin???cos?)?mg

10-11 在图10-15所示曲柄滑杆机构中，曲柄以等角速度?绕O轴转动，开始时，曲柄OA水平向右。已知曲柄质量为m1，滑块A的质量为m2，滑杆的质量为m3，曲柄的质心在OA的中点，OA= l；滑杆的质心在C点，而BC?l/2。试求：（1）机构质心的运动方程；（2）作用在O点的最大水平力。

图10-15

llm1cos?t?m2lcos?t?m3(lcos?t?)22 xC?mm3l(m?2m2?2m3)lco?st ??12(m1?m2?m3)2(m1?m2?m3)lm1sin?t?m2lsin?t2 yC?m?t ?(m1?2m2)lsin2(m1?m2?m3)质心运动定理

?C??Fxe m?x(m1?2m2?2m3)l?2cos?t??FOx

2(m1?2m2?2m3)l?2cos?t FOx??2(m1?2m2?2m3)l?2

FOxmax?2

10-12 如图10-16所示，均质杆AB长l，直立在光滑的水平面上，试求它从铅直位置无速地倒下时，端点A相对图示坐标系的轨迹．

图10-16

任意位置时?F?0，初始速度为零，故质心运动守恒xC?0，质心沿铅垂方向向下运动

l xA?co?s yA?lsin?

2故

2xy(A)2?(A)2?1 ll224xA?yA?l2

10-13 图10-17所示水平面上放一均质三棱柱A，在其斜面上又放一均质三棱柱B，两三

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