数学05级计算方法试题A答案

姓名： 学号：院系：

班级： 授课教师：张宏伟 大连理工大学应用数学系

数学与应用数学专业2005级试A卷答案

课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页

一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 8 15 15 15 5 / / / / 100 标准分 42 得 分 一、填空（每一空2分，共42分）

16x5?17x4?18x3?14x2?13x?11．为了减少运算次数，应将表达式. 42x?16x?8x?1装 改写为

????16x?17?x?18?x?14?x?13?x?1；

???x?0?x?16?x?8?x?12．给定3个求积节点：x0?0，x1?0.5和x2?1，则用复化梯形公式计算积分?e?xdx求得的近似值为

01211?2e?0.5?e?1， 4??订 用Simpson公式求得的近似值为

11?4e?0.5?e?1。 6??1．设函数s(x)?S3??1,0,1?，若当x??1时，满足s(x)?0，则其可表示

3为s(x)?c1?x?1???c2x??c3?x?1??。

33线 4．已知f(0)?0,f(1)?6,f(2)?12,则f[0,1]? 6 ,f[0,1,2]? 0 ，逼近f(x)的Newton插值多项式为6x。

5．用于求f?x??ex?1?x?0的根x?0的具有平方收敛的Newton迭代

exk?1?xk公式为：xk?1?xk?2?。

exk?1?000??000??010???????6．已知A??-101?，则A的Jordan标准型是?001?或?000?；

?000??000??000???????

-1-

7．设A是n阶正规矩阵，则A2???A?；

8．求解一阶常微分方程初值问题u?(t)?(t2?1)u?t，u(t0)?u0的向后（隐式）

Euler法的显式化的格式为：un?1?

9．设a?211.00112为x的近似值，且x?a?0.5?10?2，则a至少有 5 位有效数字；

un?htn?1。 21?h1?tn?1???3?TT10．将x??3,4?，化为y??5,0?的Householder矩阵为：?54???511．?k?0?4??5?； 3???5??0.50??20???10?????31??； ????k12．用二分法求方程f(x)?2x3?5x?1?0在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为?1,2?，进行二步后根所在区间为?1.5,2?。

13．若

n?f?x?dx??Af?x??n?2?为

0kkk?01nNewton-Cotes 求积公式，则

n114，若为Gauss型求积公式，则。 Ax?Ax???kkkk25k?0k?0114．设A?1????1H2?R?A?URU，则在Schur分解中，可取为??0?5?2?1??0???1????10?或??01??。 ???01??1t?deAt?01?At15．设A???00??，则e???01??, dt???00??。

??????二、（8分）已知近似值a1?1.21，a2?3.65，a3?9.81均为有效数字，试估计算术运算a3?

a1?a2的相对误差界。 a3-2-

解：由已知，

x1?a1?令

1111?10k?n??10?2；x2?a2??10?2；x3?a3??10?2。 2222f?x1,x2,x3??x1?x2a?a?x3，f?a1,a2,a3??12?a3， x3a3由函数运算的误差估计式

f?x1,x2,x3??f?a1,a2,a3??

fx?1?a1,a2,a3??x1?a1?+fx?2?a1,a2,a3??x2?a2?+fx?3?a1,a2,a3??x3?a3? ?a1?a2?a2a1?x3?a3? ??x1?a1???x2?a2???1?2???a3a3a3??从而，相对误差可写成

f?x1,x2,x3??f?a1,a2,a3??f?a1,a2,a3?a2aa?ax1?a1?1x2?a2?1?122x3?a3a3a3a3a1?a2?a3a3﹟

三、（15分）设线性方程组：

?x1??3x1?2x?1?3x2?x2?x2?4?4 ?4x3?7（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出det(A)（要有换元、消元过程）；

（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？

（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。

解：（1）

???1304??3104??3????3104?1304??????0?2147??2147????????0???104??388??0??033??113???04?33?104?88?? 033?044?? -3-

3108T故，x??1,1,1?，det(A)?(?1)?00??32。

3004 （2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：

?30det???D?L??U??3??0?4?3?36?2?4?2???9??0，则

2??4???BG-S??0,0,9，故??BG-S??9?1，从而Gauss-Seidel迭代法发散。

又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：

?0?BJ???3?1???2?301?40??0?，det??I?BJ???0???3123?1400??3?9????2?9，则

?????BJ??0,3,?3，故??BJ??3?1，从而Jacobi迭代法发散。

（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系

?3104??~?数矩阵为：A??1304?是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel

?2147???迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。

Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为： ?(k?1)1?(k?1)1(k)(k)???x?4?xx1??4?x22?1?33???(k?1)1?(k?1)1(k)(k?)??x?4?x和 ?2?x2??4?x1?133??11(k?1)(k)(k?1)(k?1)?x3?x3????7?2x1(k)?x2??7?2x1(k?1)?x2??44??

#

四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题u?(t)?f(t,u)，

u(t0)?u0的数值方法

11hun?2?un?1?un??3fn?2?8fn?1?fn?

228①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解u???20u，u(0)?1。为使方法绝对稳定，求出步长h的

-4-

取值范围并以u0?1，u1?1初值，h?0.01为步长，求出u(0.02)的近似值u2。

1113解：（1）注意，?0??,?1??,?2?1,?0?,?1?1,?2?，从而

228811?C????1?0?022?113?C1?2??(?1?)?0288??C?1(?1?4)?(1?2?3)?0 ?2228?1113?C3?(??23)?(1?22?)?06228??1113143C?(??2)?(1?2?)???44!23!848?故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：?14(4)hu(tn)。 481111??（2）令，?(?)??2???????1??????0，得?1?1，?2??，

2222??满足根条件；又方法阶p?3?1，故此差分格式收敛。

（3）又对于模型问题：u???u(??0), 取h??h

?1??13??h???h???3??1??11?????28??0?(?)?h?(?)??1?h??2???h??????h??2??2?1?3h??1?3h??8??2??28?????8??8??而要使得 ??1

的充要条件为：

111?h?h28?1?4?h?2 2?1?338?3h1?h1?h88而 1?4?h4?8h4?4h?2自然成立。现在再由 得 ?8?3h8?3h8?3h?4?4h?4?8h?4?4h??1?h?1?2h?1?h

由 ?1?h?1?2h，可推出?2?h?0，即h???2,0?。#

五、（15分）

（1） 用Schimidt正交化方法，构造[?1,1]上以?(x)?1权函数的正交

多项式系：?0(x)，?1(x)，?2(x)，?3(x);

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