练习题-微分方程+级数
常微分方程
（一）填空
1.
xy????2y???x2y?0是 阶微分方程； 2、Ld2QdQdt2?Rdt?Qc?0是 阶微分方程； 3、
d?d????sin2?是 阶微分方程； 4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意的线性无关的常数 .
5、微分方程y????sinx?x的通解是 6、微分方程y??exsinx?0的通解是 7、可分离变量的微分方程的标准形式 ； 8、一阶线性非齐次微分方程的标准形式 9、一阶线性非齐次微分方程的通解公式 ； 10、可降阶的二阶微分方程有几种形式，其标准形式 （1） ； （2） ； （3） ； （二）计算
1.求微分方程y'??yx的通解
2.求微分方程ydx?(x?1)dy满足初始条件yx?2?1的特解.
3.求微分方程y2?1dx?xydy的通解
4. 求微分方程y??xy?0满足初始条件yx?0?4的特解. 5. 求微分方程
dydx?2xy的通解 6.求微分方程(cosx)y??(sinx)y?1的通解 7. 求微分方程 (1?x2)dy?xydx?0 的通解
8. 求方程
dydx?y2sinx满足初始条件yx?0??1的特解．
9. 求方程y??1?yx的通解。
10. 求方程
dyydx?x?xy的通解． 1
练习题-微分方程+级数
dy2y11. 求方程 ??(x?1)2 的通解．
dxx?1512. 求微分方程xy??y?ex的通解。
dy1?y?x的通解 dxxdy1114.求微分方程?y??2的通解
dxxx13. 求微分方程
15.求微分方程xy??2y?2x4的通解。 16. 求微分方程y???2xy?的通解。 2x?1217. 求微分方程yy????y??的通解。 18、求微分方程y??4x?xy2y?x2y,y (0)?1的特解
19、求微分方程(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0的通解。
20、求微分方程的通解
(1)y\?2y'?3y?0 ; (2)y\?2y'?y?0 ; (3)y\?2y'?5y?0.
21．求解下列微分方程．
(1) xy′–ylny =0； (2)
1?y2y??; 1?x2(3) sec2x+tanydx+sec2ytanxdy =0； (4) (ex+y–ex)dx+ (ex+y+ey)dy=0； (5) (y+1)2y′+x3=0； (6) y′=e2x–y，y|x=0=0；
(7) cosxsinydy =cosysinxdx，y|x=0=?；
?(8) xy′–xsiny–y=0；
x(9) y′=eyx?y． x22．求解下列微分方程:
(1) xy′+y =x2+3x+2； (3) y′+ytanx =sin2x； (5) y′+2xy =4x．
(2) y′+ycos =e–sinx； (4) (x2–1)y′+2xy=cosx；
2
练习题-微分方程+级数
无穷级数
一、 判断题：
（1）若?un?0，则级数?un收敛。（ ）
n?1n?1??（2）收敛级数与发散级数的和是发散级数。（ ）
（3）若两个级数?an，?bn满足an?bn(n?1,2,?)，且?bn收敛，则?an收
????n?1n?1n?1n?1敛。（ ）
??（4）若级数?un收敛，则?un收敛。（ ）
n?1n?1?（5）级数?1n是发散级数。（ ） n?1二、用适当的方法判别下列级数的敛散性：
???（1）1?n； （2）n?13?1?sinn?16n；
?（3）?2n?1?n!n?12n； （4）?n；
n?14?（5）?n?cosn?3; (6) n?13n?1?n?1n;
三、讨论下列交错级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ ?（1）?(?1)n?1n?； （2）?(?1)n1n?12n?1n?0(2n?1)2； ?（3）?(?1)nn? （4）1n；n?12?(?1)nn?1n
四．判别下列级数的敛散性: ?sin2n?(1) ??1； (2)
n?14n2?n?3n?1n2；
??(3) ?lnn?1；
(4)
n?1n?n?1； n?12n?1
3
练习题-微分方程+级数
3n(5) ?； nn?1n?3? (6)
； ?n?1n?1
1??(7) ??1?cos?；
n?n?1?? (8)
?n?2?lnn； n
2nn!(9) ?n.
n?1n?五．判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛： (1)
bn(b?0). (2) ?(?1)nn?1?n(?1)?n?1?n(n?1)2n10?n； 2
六．求下列幂级数的收敛半径和收敛域；
?(?1)nnx； (1) ? (2) nn?1
2nxn. ?2n?01?n?常微分方程参考答案 一、填空
1、三；2、二； 3、一；4、二；5、cosx?6、y?14x?C1x2?C2x?C3； 241xf(x)dx?g(y)dye(sinx?cosx)?C；7、
2 dy??P(x)dx??P(x)dx?P(x)y?Q(x)；9、 ?P(x)dxdx8、 y?Ce?eQ(x)edx?
(n)??f(x,y?)y?f(x)；10（1） （2）y?
（3）y???f(y,y?) 二、计算
?xC21、y?；2、y?x?1；3、y?1?lnCx ；4、y?Ce2；5、yx12?Cex2；
6、y?Ccosx?sinx；7、y?C1?x2；8、y?secx；9、y?Cx?xlnx；
4
练习题-微分方程+级数
72Cexy?C?x?1???x?1?2；y??10、 11、12、；13、y?2xlnCx；y?Cx?x2；
3xx222Clnx14、y??；15、y?Cx2?x4；16
y?C2eC1x?x3??；17、y?C1? ?x???C2 ；
xx?3?18、(4?y2)(1?x2)?5；19、(1?ex )(1?ey)?C；20、(1) y?C1e?x?C3x2e; (2) y?(C?x1?C2x)e;(3)
y?ex(C1cos2x?C2sin2x) 21. (1) y?eCx;
(2) arcsiny=arcsinx+c; (3) tanytanx=c;
(4) (1?ex)(ey?1)?C;
(5) 13(y?1)3?144x?C;
(6) ey?12x12e?2;
(7) 2cosy?cosx;
(8) y?2xarctan(Cx); (9) ylnx?C?e?x.
22、 (1) y?123C3x?2x?2x;
(2) y?(x?C)e?sinx;
(3) y?Ccosx?2cos2x; (4) y?sinx?Cx2?1; (5) y?2?Ce?x2.
无穷级数答案
一、（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）对。 二、（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散；（5）收敛；（6）条件收敛。三、（1）发散；（2）绝对收敛；（3）绝对收敛；（4）条件收敛。
四. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 发散; (5) 发散;
(6) 发散; (7) 收敛; (8)发散; (9) 收敛.
五. (1) 绝对收敛; (2)0
六. (1) R?1,(?1,1]; (2) R?1?11?2,???2,2??.
5
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