2009年英国数学奥林匹克第2轮试题及解答

2009年英国数学奥林匹克第2轮试题及解答

1.对于任意整数n?1，设p?n?为n的最大质因数．求所有的三个不同的正整数x，y，z，使其满足：⑴x，y，z是等差数列；⑵p?xyz?≤3． 解：?或?2k,9k,16k?，这里k?2?3． ????x,,yz?k,2k,3k,2k,3k,4k,?不妨设x?y?z．若充分求出X，Y，Z不含任何公因数k的解?X,Y,Z?，则全部的解集?x,y,z?为?kX,kY,kZ?，

mn其中k?2?3．

记W?Y?X，则Z?X?与X具有相同奇偶性． 2Wmn因此X与Y必具有相异奇偶性．否则，X与Y同偶或同奇．若X与Y同偶，则X、Y、Z都是偶数，有公因数2，

bc矛盾；若X与Y同奇，则X、Y、Z都是3的幂（含指数为0的情形）．不妨设X?3a，这里0Y?3，Z?3，≤a?b?c，

ac?abacbac?ab3?1?3??2?3，则3则1?3?23?．3?23???tc?a?t，．令ba这里0?s?t，则1?323??s?，

?s．而t≥s?1，

ts?1ss则1，矛盾． ?3≥1?3?1?3?3?2?3⑴若X是奇数，则Z是大于1的奇数，于是Z是3的幂．若X?1，则X也是3的幂，于是Ynnn?1n?X?Z2也含3的幂．矛

2??1?????X?Z1?4?1??1??144n??m盾．因此X必是1．若Z?3，则Y（其中42?m???222表示所有含42或

?o?．但Y是一个2的幂．这是因为Yd4其更高次项的和）．因此 n是奇数，否则Y是奇数，矛盾．从而Y?2m显然不含大于3的质因数；也不含质因数3，否则不妨设Y?1?32n3?6u，则1?矛盾．于是Y?2?3u，

n，Z ?3．

⑵若X是偶数，则Y是奇数且是一个3的幂．若X能被3整除，则Z?也能被3整除．矛盾．因此X必是一2Y?X个2的幂．类似地，Z必是一个2的幂．若X能被4整除，则由于Z是一个2的更大的幂，它也必能被4整除．于是2是能被4整除，故Y?X?能被2整除．矛盾．因此X必是2．容易验算得?W?Z?X?2,9,16?W????，X,Y,Z2,3,4是它的解．Y能被27整除时无解，证明如下：容易（虽然有点麻烦）由

Z?2n?1验算出

Z?Xn??， mY??2?1?3,5,9,17,6,11,21,81,48,,01,?52,62,,234,,20,o1d22,723,12?o?时，得Y能被27整除． ?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,?其中n．于是我们必有n?9md18n???o?，则Y也能被19整除．于是Y?1?3,5,9,17,14,8,15,10,0,18,16,12,4,7,13,6,11,2,3,?mod19但2．所以若n?9md18不能是一个大于9的3的幂．

2.△ABC中，D为AB上一点，且4AD=AB．过D的射线l与C在AB的同侧，交△ABC的外接圆于P，且

?ADP??ACB，证明P． B?2PD D A P B C

APB??ACBADP??ACB证：连结AP．则?，又?，故?，△APB∽△ADP． APB??ADP22A?2AD从而P，P．即相似比为2．故PB = 2PD． AA?D?AB?4AD?是一个正整数集?的一一映射． 3.设f:??,a?da,?2d⑴证明存在一个由正整数a组成的等差数列，这里d?0，使??????fa???fa?fad2d．

??????a?fa?d???fa?2003d,ad?,?,a?2003d⑵一定存在一个等差数列a，这里d?0，使f吗？ ?1,a?2,a?4,a?8,a??16,a32,?证明：⑴设f?a??1，考虑a，显然其中任意相邻两项与a都构成等差数列，

在这些等差数列中，必存在一个满足要求．这是因为：

ii?1i???a?2?f?a?2??f?a?f?a?2假设不存在满足要求的等差数列．由于1，其中i是非负整数，则必有f?．

1

即????????????．但f?a?1?是一个确定的正整数，且f:??fa?1?fa?2?fa?4?fa?8?fa?16?fa?32????是一个正整数集

的一一映射，从而小于f?a?1?的正整数有有限个，故在f?a?2j?中必存在某一个

．则

k?1k????????fa?fa2?fa2，这

k?1kk??????a??1?fa?2?且f?，其中j,k??a?2?f?a?1f?a?2?，满足fk?1k,a?2,a?2满足要求．矛盾！ 时公差d?2k?1的等差数列a⑵不一定存在． 构造映射：

1?1,||2?2,||4?3,3?4,||8?5,7?6,6?7,5?8,||16?9,15?10,14?11,13?12,12?13,11?14,10?15,9?16,||?n?1n?f≤2分成若干档，其中n是非负整数．上述映射中“||”为分档线． 以象f满足2设f?a?2003d?在第i档，而第i档的最大的象是2i?1．分析各档里象的情况如下：

前i?3档 1~2i?4第i?2档 2?1~2i?4i?3第i?1档 2?1~2i?3i?2第i档 2?1~2i?2i?1 i?2i?3i?3由于第i?1档里象的个数为2又每档里最多只能选择一个，否则将出现f?，ai?d?fa??i1d?2?2，?????故d?2i?4．从而前i?3档里最多只能选择一个．故总共最多只能选择四个．

倘若从中选择五个及五个以上，由抽屉原理知，必定在后三档里存在某一档至少被选择了两个． 因此题设中的映射不一定存在满足要求的等差数列．

??????4.设f是一个定义在非负整数集内的函数，使所有n≥0，有⑴?；⑵f2n?1f2n6fn?1?????22f?n2?≥fn??．

问在函数f的象中有多少个数小于2003？ 解：128．

??????????????因为?，?，所以f2nf?2nf??6n12≤fnf?62n?1?f2n?3f2n?1f2n6fn?1????????????????222222????????????f2n?f2n?1?f2n?32n?1?f?2n?1f21n??f2n?6fn?1与?f?2n??．从而f?或f?2n??2．但??????222具有相反奇偶性，因此必有??????． f?2n?1?f2n?12n3f?n．于是f?从而，特别地，f?0??0，故f?1??1．一般地，由归纳推理得，f是严格单调递增的．证明如下： ???，显然成立；假设n≤????????f?0?f1???f2kf?2k?112k?1时，f当n≤1时，f?0．则

?????????????????2k?1?f2k?1?3fk?12k?1?f2k?2，而f，故f?． fk2?2?3fk?1≥3fk?1?3fk?3??2k?2?f?2k?32k?3?f2k?2?1又因为f?，所以f?． ?????从而显然

????????????f0?f1??f2?f22k?fk?1?f2k?2?f2k?3．因此f是严格单调递增的． ??7??f128??32187?2003．

??????????????????ff127?126?1?3f63?1?3f62?4?9f31?4?9f30?13?27f15?13?27f14?40?81f7?40?????????81f6?121?243f3?121?243f2?364?729f1?364?729?364?1093?2003．

因此有128个相异数

??????f0,f1,?,f127小于2003．

2

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