ln(x?a)?lna1(a?0)x5. 极限x?0的值是 a.
xy6. 由e?ylnx?cos2x确定函数y(x)，则导函数y??
y2sin2x??yexyx . ?xyxe?lnx7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x?2y?z?0,2x?3y?5z?6都平行，则直
x?1y?2z?3??1?1?1 . l线的方程为
lim2y?2x?ln(4x)8. 求函数的单调递增区间为 （－?，0）和（1，+? ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
(1?x)?ex9. 计算极限x?0.
lim(1?x)?ee?elimx?0x解：x?0lim1x1ln(1?x)?1x1x?1x?elimln(1?x)?xe??x?0x22
10. 已知：|a|?3，|b|?26，a?b?30，求|a?b|。
解：
??a?b512cos?????,sin??1?cos2??13ab13x ，
??a?b?72
11. 设f(x)在[a，b]上连续，且
xxF(x)??(x?t)f(t)dtx?[a,b]a，试求出F??(x)。
解：
F(x)?x?f(t)dt??tf(t)dtaax
xF?(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dtaaF??(x)?f(x)
cosxxdx.3?sinx 12. 求
cosx1?2dx??xdsinx3?2解：sinx 1111??xsin?2x??sin?2xdx??xsin?2x?cotx?C2222
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
?x2?2dxxx2?113. 求
3.
令 1?tx
1232原式??1tdt11(?2)dtt1?1t2
?arcsint32121?t2 6
2xy?1?x2 的极值与拐点. 14. 求函数
解：函数的定义域（－?，+?）
?
?1232???4x(3?x2)2(1?x)(1?x)y??y???(1?x2)2 (1?x2)3
令y??0得 x 1 = 1, x 2 = -1
y??(1)?0 x 1 = 1是极大值点，y??(?1)?0x 2 = -1是极小值点
极大值y(1)?1，极小值y(?1)??1
令y???0得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = -3 x y?? (-?,-3) － (-3,0) + (0, 3) － (3,+?) + 33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）
x3y?24与y?3x?x所围成的平面图形的面积. 15. 求由曲线
x3解:?3x?x2, x3?12x?4x2?0,4
x(x?6)(x?2)?0, x1??6, x2?0, x3?2.
2x3x322S??(?3x?x)dx??(3x?x?)dx?6404 4334x3x3xx02?(?x2?)?6?(x2??)032316 162
11?45?2?4733
2y?4?x16. 设抛物线上有两点A(?1,3)，B(3,?5)，在弧A B上，求一点
P(x,y)使?ABP的面积最大.
0解：
AB连线方程：y?2x?1?0 AB?45点P到AB的距离?ABP的面积2x?y?152?x2?2x?3? (?1?x?3)5
1?x?2x?3?45??2(?x2?2x?3)25
S?(x)??4x?4 当x?1 S?(x)?0 S??(x)??4?0 S(x)?当x?1时S(x)取得极大值也是最大值
此时y?3 所求点为(1，3)
另解：由于?ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线2的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4?x0),使f?(x0)??2x0??5?33?1??2, 解得x0?1,所求C点为(1,3)
六、证明题（本大题4分）
2x17. 设x?0，试证e(1?x)?1?x.
2x 证明：设f(x)?e(1?x)?(1?x),x?0 f?(x)?e2x(1?2x)?1，f??(x)??4xe2x，
x?0,f??(x)?0，因此f?(x)在（0，+?）内递减。
在（0，+?）内，f?(x)?f?(0)?0,f(x)在（0，+?）内递减，
2xf(x)?f(0),e在（0，+?）内，即(1?x)?(1?x)?0
2xe亦即当 x>0时，(1?x)?1?x 。
高等数学I A
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的
括号中）
(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
?ln(x?1)?x?1,x?1???f(x)??tanx,0?x?12??x?sinx,x?0?? 的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-?,+?) (B) (-?,1) ?(1,+ ?)
(C) (-?,0) ? (0, +?) ?)
(D) (-?,0) ? (0,1) ? (1,+
x2?1lim(?ax?b)?0x??x?119. 设，则常数a,b的值所组成的数组（a,b）为
（ ）
（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1） 20. 设在[0，1]上f(x)二阶可导且f??(x)?0，则（ ） （A）f?(0)?f?(1)?f(1)?f(0)
(C) f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0)
?2
3(B) f?(0)?f(1)?f(0)?f?(1)
（D）f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)
?4234(xsinx?cosx)dx??2?M?21.
???2sinxcos4xdx,N?21?x2?(sinx?cosx)dxP????22则（ ）
（A） M < N < P （B） P < N < M （C） P < M < N （D） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
x?1d(x2arctanx?1)?1. 设
（ ）
(n)f(x)dx?sinx?c,f??(x)dx?2. 设则
（ ）
x?4yz?5??3. 直线方程2?mn6?p，与xoy平面，yoz平面都平行，
那么m,n,p的值各为（ ）
x???limi?14. （ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1??1lim?2?2?1. 计算 x?0?sinxx?
?nni2e?i????n?2?2.
3.
图形如图所示，给出
f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐点。
1?2?xcos,x?0f(x)??x?x?0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f?(x) ?x设
设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数f?(x)的
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