2016-2017(1)概率统计A解答

院、系领导 审批并签名 、 A 卷 课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试

学院:___________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________ 题 次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 评卷人 分 数 15 15 8 10 10 10 12 10 10 100 得 分

一、选择题（每小题3分，总计15分） 1．设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中正确的是（ D ）. （A）A与B不相容 （B）A与B相容 （C）P(AB)=P(A)P(B) （D）P(A?B)=P(A)

2．设随机变量?~N(?,42)，?~N(?,52)，而p1?P{????4}，p2?P{????5}，则（ A ）.

(A) 对任何实数?，都有p1?p2 (B) 对任何实数?，都有p1?p2 (C) 只对?的个别值，才有p1?p2 (D) 对任何实数?，都有p1?p2

3．设连续型随机变量X的概率密度为

0?x?1,?x,?f(x)??2?x,1?x?2,

?0,其它,?则随机变量X落在区间 (0.4，1.2) 内的概率为（ B ）. (A) 0.64 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.42

4．设随机变量X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，且X与Y相互独立，令Z?X?2Y?7，则Z~（ A ）.

（A）N(0,5) （B）N(0,3) （C）N(0,46) （D）N(0,54)

5．离散型随机变量X的分布律为

P{X?k}?b?k(k?1,2,?)

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的充分必要条件是（ D ）.

（A）b?0且0???1 （B）b?1??且0???1

11（C）b??1且??1 （D）??且b?0

?1?b

二、填空题（每空3分，总计15分）

1．设P(A)=0.35，P(A∪B)=0.80，那么

（1）若A与B互不相容，则P(B)= 0.45 ； （2）若A与B相互独立，则P(B)= 9/13 .

2．将英文字母C,C,E,E,I,N,S随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 4/7！ .

3．设随机变量?的概率密度为

?1?x,0?x?4, f(x)??8??0,其他,对?独立观察3次，记事件{??2}出现的次数为?，则D?? 9/16 .

4．若随机变量?在(0，5)上服从均匀分布，则方程4t2?4?t???2?0有实根的概率是 3/5 . 三、（本题满分8分）

某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12. 两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率. 解：设事件B为“从仓库随机提出的一台是合格品”，事件Ai为“提出的一台是第i2）车间生产的”（i?,1，则

23P(A1)?，P(A2)?，P(B|A1)?0.85,P(B|A2)?0.88，------3分

55由全概率公式

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)------6分

23??0.85＋?0.88?0.868.------8分 55 四、（本题满分10分）

已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律

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及分布函数F(x).

解：设用X表示乙箱中次品件数，则X的分布律为

312C30C3C3C319，， P(X?0)??P(X?1)??33C620C620130C32C3C3C391.------6分 P(X?2)?3?，P(X?3)??3C620C620X的分布函数F(x)为

x?0?0,?1?,0?x?1?20??1F(x)??,1?x?2 ------10分

?2?19?20,2?x?3?3?x??1,

五、（本题满分10分）

已知随机变量?只取 -1，0，1，2 四个值，相应的概率依次为

1357，，，，2c4c8c16c确定常数c，并计算P{??1|??0}和E?.

137357???1，因此c??解：由于.------3分

162c4c8c16cP{??1,??0}P{???1}P{??1|??0}???0.32，------6分

P{??0}P{??0}1357?1611?.------10分 E???(?1)??0??1??2????24816?3737? 六、（本题满分10分）

设连续型随机变量?的分布函数为

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x???2F(x)??A?Be,若x?0,

?0,若x?0.?试求（1）系数A及B；（2）随机变量?的概率密度；（3）随机变量?落在区间

2(ln4,ln9)内的概率. 解：（1）由lim(A?Bex?0?x22)?0，得A?B?0，

又由lim(A?Bex????x22)?1，得A?1，从而B??1.------4分

2（2）?的概率密度为

??x?2f(x)??xe,若x?0,------7分

?若x?0.?0,（3）p?ln4???ln9?F??ln9?F??ln4?(1?e??ln92)?(1?e?ln42)?1.---10分 6 七、（本题满分12分）

设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数

?6x,0?x?y?1, f(x,y)???0,其他.（1）求X,Y的边缘密度函数；（2）问X,Y是否相互独立？（3）求X的数学期望. 解：（1）当0?x?1时，fX(x)??6xdy?6x(1?x)，故

x1?6x(1?x)，0?x?1，fX(x)??------3分

其他.?0，当0?y?1时，fY(y)??6xdx?3y2，故

02??3y，0?y?1，fY(y)??------6分

??0，其他.（2）因f(x,y)?fX(x)fY(y)，故X,Y不独立.------8分

??11（3） E(X)??xfX(x)dx??6x2(1?x)dx?.------12分

??02 八、（本题满分10分）

计算机在进行加法运算时每个加数取整数（最为接近于它的整数），设所有的取整

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误差是独立的，且它们都在(?0.5,0.5)上服从均匀分布. 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率为多少？

(已知??1.34??0.909,?(1.645)?0.95，其中?(x)是标准正态分布函数)

解：设每个加数的误差为Xi(i?1,2,?1500)，由题设知Xi独立且都服从(?0.5,0.5)1上的均匀分布，所以EXi?0,DXi?.------3分

121500X记X＝?Xi，由独立同分布的中心极限定理知近似服从N(0,1)，------5分

125i?0故

P?X?15??1?P?X?15??1?P??15?X?15?

X15???15?1?P????

125125??125 ?2?2??1.34??0.1802.

误差总和的绝对值超过15的概率为0.1802.------10分 九、（本题满分10分）

设总体X服从0-1分布b(1,p)，x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本观察值，求参数p的最大似然估计值. 解：X的分布律为

P(X?x)?px(1?p)1?x,x?0,1，------2分

似然函数为

L(p)??pxi(1?p)1?xi，------4分

i?1nlnL(p)??xilnp??(1?xi)ln(1?p)，------6分

i?1i?1nndlnL(p)nxin1?xi，------8分 ????dpp1?pi?1i?1dlnL(p)?0，求得参数p的最大似然估计值为 令

dp1n???xi?x.------10分 pni?1Page 5 of 5《概率论与数理统计》A卷

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