③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
[全练题点]
1.[考点二](2018·安徽名校联盟考前模拟)在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1
＋an＋2为定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝( )
A．132 C．68
B．299 D．99
解析：选B 因为对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，所以an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，所以an＋3＝an，所以数列{an}是周期数列，且周期为3.故a2＝a98＝4，a3＝a9＝3，a100＝a1＝2，所以S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a100＝299.故选B.
?n＋2?
?，欲使它的前n项的乘2.[考点一](2018·山东枣庄第八中学阶段性检测)已知数列?
?n?
积大于36，则n的最小值为( )
A．7 C．9
B．8 D．10
?n＋2?n＋1??n＋2??n＋2??345??解析：选B 由数列的前n项的乘积···…·＝>36，得n2＋3n
n1232?n???
－70>0，解得n<－10或n>7.又因为n∈N*，所以n的最小值为8，故选B.
??3－a?x＋2，x≤2，
3.[考点一]已知函数f(x)＝?2x2?9x+11(a>0，且a≠1)，若数列{an}满足an＝
，x>2?a
f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) C．(2,3)
8?
B．??3，3? D．(1,3)
3－a>0，??
因为{a}是递增数列，所以?a>1，
???3－a?×2＋2
n
2
解析：选C
解得2
a的取值范围是(2,3)．
?n＋1?π
4.[考点二](2018·辽宁重点中学协作体联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin，
2记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝( )
A．0 C．1 010
B．2 018 D．1 009
?n＋1?π?n＋1?π
解析：选C 由a1＝1及an＋1－an＝sin，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1
223π4π5π6π
＋sin π＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin＝0，a5＝a4＋sin＝1，a6＝a5＋sin＝1，
22227π8π
a7＝a6＋sin＝0，a8＝a7＋sin＝0，…，可见数列{an}为周期数列，周期T＝4，所以S2 018
22＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝1 010.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
11
解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴S－＝1，
nSn＋1
即
?1?111
－S＝－1.又＝－1，∴?S?是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴S＝－1＋(n－
S1?n?nnSn＋1
1
1
1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－n.
1答案：－n 2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {an}满足 an＋1＝解析：将a8＝2代入an＋1＝
1
, a＝2，则a1 ＝________. 1－an8
1111，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得221－an1－an
1
，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期1－an
a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝
1
数列，且周期为3，所以a1＝a7＝. 2
1
答案：
2
21
3．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝
33________.
21
解析：当n＝1时，由已知Sn＝an＋，
3321
得a1＝a1＋，即a1＝1；
33
21
当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，
332121
an＋?－?an－1＋? 所以an＝Sn－Sn－1＝?3??33??322
＝an－an－1， 33
所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n1
－
24．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an－(2an＋1－1)an－2an＋1
＝0.
(1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式．
11解：(1)由题意可得a2＝，a3＝. 24(2)由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
an＋11
因此{an}的各项都为正数，所以a＝. 2n
11
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝n1.
22－
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 数列的通项公式 1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
2an1
(n∈N*)，则是这个数列的( )
4an＋2
A．第6项 C．第8项
B．第7项 D．第9项
?1?2an11111
解析：选B 由an＋1＝可得＝＋，即数列?a?是以＝1为首项，为公差a12?n?an＋2an＋1an2
1111221
的等差数列，故＝1＋(n－1)×＝n＋，即an＝，由＝，解得n＝7，故选B.
an222n＋1n＋14
a32．(2018·南昌模拟)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的
a5
值是( )
15A. 16
B．
1533 C. D． 848
111
解析：选C 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，
222a31332
a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.
3a5224
3．(2018·河南郑州一中考前冲刺)数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有1111
am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝( )
a1a2a3a2 018
2 017
A. 2 0184 034C. 2 018
B．
2 018
2 0194 036
2 019
D．
解析：选D ∵a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋n?n－1??n＋2?n?n＋1?12
＋1，即an＋1－an＝n＋1，用累加法可得an＝a1＋＝，∴a＝＝
22nn?n＋1?11111?4 036?1－1?1111
1－＋－＋…＋－2?nn＋1?，∴＋＋＋…＋＝2?2 0182 019?＝2 019，故选D. a1a2a3a2 018?223??
4．(2018·甘肃天水检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( ) A．2n1
－
B．
2
n－1
1
2?n－1
C.??3? 3?n－1
D．??2?
Sn＋13
解析：选D 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，所以＝，所以
Sn23?n－13
数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝??2?.故选D. 2
5．(2018·兰州模拟)在数列1,2，7，10，13，…中219是这个数列的第________项．
解析：数列1,2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，
3×4＋1，…，∴该数列的通项公式为an＝3?n－1?＋1＝3n－2，∴3n－2＝219＝
76，∴n＝26，故219是这个数列的第26项． 答案：26
6．(2018·河北冀州中学期中)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a3＝________，an＝________.
an＋1n＋1n－1anan－1an－2a2n解析：由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝···…··a＝×
anna11n－1n－2an－1an－2an－3
n－22
××…××1＝n(n≥2)，∴a3＝3.∵a1＝1满足an＝n，∴an＝n.
1n－3
答案：3 n
7．(2018·福建晋江季延中学月考)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．
解析：已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1，将n＝1代入，得a1＝2；当n≥2时，将n1
－1代入得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n，两式相减得nan＝(n＋1)－n＝1，∴an＝n，∴
??2，n＝1，an＝?1
??n，n≥2.
2，n＝1，??答案：an＝?1
，n≥2??n对点练(二) 数列的性质
9n2－9n＋2
1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．则下列说法正确的是( ) 29n－127
A．这个数列的第10项为 3198
B.是该数列中的项 101
1?
C．数列中的各项都在区间??4，1?内 D．数列{an}是单调递减数列
9n2－9n＋2?3n－1??3n－2?3n－228解析：选C an＝＝＝.令n＝10，得a＝.故选项A10
319n2－1?3n－1??3n＋1?3n＋1
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