《直线的参数方程(第1课时)》教学设计

选修4-4 第二讲 参数方程

2.3直线的参数方程（第一课时）(谷杨华)

一、教学目标 （一）核心素养

通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的

优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点．

（二）学习目标

（三）学习重点

（四）学习难点

1．对直线参数方程的几何意义的理解．

2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用． 1．直线参数方程的推导．

2．直线参数方程中参数的几何意义．

3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．

1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系． 2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义．

3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性．

二、教学设计 （一）课前设计

1．预习任务

读一读：阅读教材第35页至第36页，填空：

?x?x0?tcos?(t为参数)，这种形式过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?y?y?tsin?0?称为直线参数方程的标准形式．

其中参数t的几何意义是：直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t绝对值，即|M0M|＝|t|.

若_t?0，则M0M的方向向上； 若_t?0_____，则M0M的方向向下； 若___t?0___，则M与M0重合．

2．预习自测

?x??2?tcos60?(t为参数)的倾斜角?等于( ) （1）直线???y?3?tsin60A．30° C．－45°

【知识点】直线的参数方程

B．60° D．135°

【数学思想】

【解题思路】根据直线标准的参数方程可知直线的倾斜角

【思路点拨】熟记直线的标准参数方程

【答案】B．

?x?1?tcos?(t为参数,0????)必过点( ) （2）直线??y??2?tsin?A．(1，－2) C．(－2,1)

B．(－1,2) D．(2，－1)

【知识点】直线的参数方程 【数学思想】

【解题过程】消去参数得到直线的普通方程为y?2?tan?(x?1)，所以恒过定点 (1，－2)．

【思路点拨】消去参数化为普通方程 【答案】A．

（3）．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的标准参数方程的是( )

?x?1???A.??y?3????52x?1?tt?5(t为参数) 2(t为参数) B.??2?y?5?25tt?25?25?5?x＝2＋t，x?t??5?5C.?(t为参数) D.?

5?y?1?25t?y＝5＋??5t5?【知识点】直线的参数方程 【数学思想】

【解题过程】由直线的标准参数方程形式易得选C 【思路点拨】熟记直线的标准的参数方程形式 【答案】C．

(t为参数)

1?x?2?t??2(t为参数)与曲线C： （4）已知直线l的参数方程为?y2＝8x. 交于A，B两点，

3?y?t?2?求弦长|AB|.

【知识点】直线的标准参数方程、直线与抛物线的位置关系 【数学思想】

1x＝2＋2t，??

【解题过程】将直线l的参数方程?

3y＝??2t.

1664

代入y2＝8x，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝3，t1t2＝－3.

所以|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t2

232

－4t1t2＝3. 【思路点拨】充分理解直线标准参数方程中参数的几何意义 32

【答案】3.

(二)课堂设计

1．问题探究

探究一 结合实例，认识直线参数方程★ ●活动① 温故知新

在必修2我们学习了直线及其方程，在平面直角坐标系中，两点或一点和直线的倾斜角确

定一条直线，直线的方程形式主要有：

1.点斜式： y?y0?tan?(x?x0) ,其中?为直线的倾斜角，定点M(x0,y0)； 2.斜截式：y?kx?b ， 其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距 ； 3.两点式：4.截距式：

y?y0x?x0 ，其中直线经过两点的坐标为P?1(x0,y0),P2(x1,y1)

y1?y0x1?x0xy??1， 其中a,b分别为直线在x轴、y轴上的截距 ab5.一般式：Ax?By?C?0 ，其中A,B不同时为0

【设计意图】简要回顾直线的有关内容，为得到直线的参数方程作铺垫．

●活动② 利用旧知、推导新概念 已知直线l的倾斜角?(???2)和定点M0(x0,y0)，如何建立直线l的参数方程？

y 在直线l上任取一点M(x,y)，则

e M0 M M0M?(x,y)?(x0,y0)?(x?x0,y?y0)

取直线l的一个单位向量e?(cos?,sin?),(???0,??)

?由e∥M0M,根据向量共线基本定理，存在实数t?R, ? O x 使M0M?te，即

(x?x0,y?y0)?t(cos?,sin?) 于是 x?x0?tcos?, y?y0?tsin? 整理得 x?x0?tcos?, y?y0?tsin?

当倾斜角???2时，即直线l的方程：x?x0时，也满足上式．

因此，经过点M0(x0,y0)，倾斜角为?(???2)的直线l直线的标准参数方程为

?x?x0?tcos?(t为参数) ?y?y?tsin?0?【设计意图】利用向量的知识，推导得出直线的参数方程，培养学生严谨的思维和逻辑推理能力．

探究二 探究直线标准参数方程中参数的几何意义★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识

在上述直线的标准参数方程中，参数t是否和圆中参数类似，具有一定的几何意义呢？ 因为e?(cos?,sin?)，所以e?1，而M0M?te，所以M0M?t，所以参数t的几何意义

为：

t等于直线上动点M到定点M0的距离，即：M0M?t

●活动② 升华认识、理解提升

当0????时，sin??0，所以直线l的单位向量e的方向是向上的，于是的可得： 若t?0，则M0M的方向向上；

若t?0，则M0M的方向向下； 若t?0，则M与M0重合．

【设计意图 加深对参数t的认识，对直线参数方程进一步的了解．

【设计意图】通过对推导过程分析，得出参数t几何意义，培养学生解析问题的能力．

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