第五章 近似方法
一、概念与名词解释
1. 斯塔克效应 2. 跃迁概率 3. 费米黄金规则 4. 选择定则
二、计算
1. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正.
2. 转动惯量为I，电矩为D的空间转子处在均匀电场E中，如果电场较小，用微扰理论求转子基态能量的二级修正.
3. 转动惯量为I，电矩为D的平面转子处在均匀弱电场E中，电场处在转子运动的平面上，用微扰法求转子的能量的二级修正.
0?E1?a b??, 4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是?? b E0?a?a、b是实数. 2??(1) 用微扰公式求能量至二级修正；
(2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解，并与(1)的结果比较.
0?E1 0 ?a???005. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是? 0 E1 ?b? ， (E02?E1)
????*a ?*b E0?2??(1) 用简并微扰方法求能量至二级修正； (2) 求能量的准确值，并与(1)的结果比较.
6. 在简并情况下，求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级
修正.
7. 线谐振子受到微扰aexp(-βx2)的作用，计算基态能量的一级修正，其中常数β>0.
8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a+与降算符a表示为
?'??(a??a)??的作用，?0?(a?a?1/2)?? , 此体系受到微扰H求体系的能H?0的本征态|n>的作用为级到二级近似. 已知升与降算符对Ha?n?n?1n?1 ; an?nn－1 .
??9. 一个电荷为q的线谐振子受到恒定弱电场E??i的作用，利用微扰
论求其能量至二级近似，并与其精确结果比较.
10. 一维非简谐振子的哈密顿量为H=p2/2m+mω2x2/2+βx3. β是常数，若将H'??x3看成是微扰，用微扰论求能量至二级修正，求能量本征函数至一级修正.
11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为H=(px2+py2)/2μ+μω2(x2+y2)/2+λxy. 若λ<<1，试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数. 12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰H'?axy?bz2 , 求第一激发态的一级能量修正.
13. 一维无限深势阱(0
(其他)?? 上微扰H'??xy(0?x,y?a), 求基态能量和第一激发态的能量修正值.
?－?2?2sin(?x/a)/80?a2 (0?x?a)17. 粒子在如下势阱中运动V(x)?? ,求其
(x?0,x?a)?? 基态能量的一级近似.
(0?x?a/2)?0 22218. 粒子处于如下势阱中V(x)?????/80?a (a/2?x?a) ,求其能级的一
?? (x?0,X?a)?级近似值.
19. 自旋为?/2的粒子处于一维无限深方势阱(0
(x?0,x?a)?0 其中λ为一小量.
?????1????1和??2????2的粒子，20. 两个自旋为?/2，固有磁矩算符分别为??????1???2可视为微处于均匀磁场B?B0k中，若粒子间的相互作用??扰，求体系能量的二级近似，其中α、β、γ为实常数.
21. 类氢原子中，电子与原子核的库仑作用为U(r)=－Ze2/r，当核电
荷增加e(从Z→Z+1)，相互作用增加H'?-e2/r，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较.
????22. 设氢原子处于均匀的弱电场???0k和弱磁场B?B0k中，不考虑自
旋效应，用微扰论讨论其n=2的能级劈裂情况. 23. 求氢原子n=3,简并度n2=9时的斯塔克效应.
24. 设在t=0时，电荷为e的线性谐振子处于基态. 在t>0时起，附加
一与谐振子振动方向相同的恒定外电场ε，求其处在任意态的概率.
??的粒子处于如下弱旋转磁场中 ??g?25. 一个自旋为?/2，磁矩为?s??????? B?B0cos(?t)i?B0sin(?t)j?Bk , 粒子与磁场的作用为－gs?B. 若粒子
开始处于sz= ?/2的状态，讨论跃迁情况并计算跃迁概率. 26. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数.
27. 一个处在第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中，求空腔温度等
于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁概率相等.
28. 一个粒子在吸引势V(r)= -g2/r3/2中运动，试用类氢原子的波函数
作为尝试波函数，求基态能量.
29. 以?(r)?exp(-cr2)为试探波函数，求氢原子基态能量与波函数，其
中c>0.
4??p?230. 设一维非简谐振子的哈密顿算符为Hx/2???x , 以
22?(x)?a/?exp(-ax/2)为试探波函数，a为变分参数，求其基态能量.
31. 取尝试波函数为Ce-ax, C为归一化常数，a是变分参数，试用变分
法求谐振子的基态能量和基态波函数，并算出归一化常数C. 32. 设粒子在中心力场V(r)= -Arn(n为整数)中运动，选R(r)=Nexp(-βr)
为试探波函数，求其基态能量. 进而求出库仑场(n= -1,A>0)和谐振子势(n=2,A<0)的结果，并与严格解比较.
33. 试用Φ=exp[-f(x-1)2(x+2)/3]/(x+1)为试探波函数，f为变分参数，
求势场为V(x)=g2(x2-1)2/2的基态能量，其中g是个很大的常数.
2三、证明
?(0)?E(0)?E(1)?(0)nH?nnn(1)(1)(2)?(0)1. 在无简并的微扰论中，证明?(0)?E(0)nH?n??nn?En?En
(1)?(1)(1)E(3)n??nW-En?n2. 一维运动的体系,定义从|m>态跃迁到|n>态相应的振子强度为
fnm?2m?nmnxm/? , m是粒子质量，求证：?fnm?1
n23. 设体系在t=0时处于基态|0>，若长时间加上微扰
?(x,t)?F?(x)exp(-t/W?), 证明该体系处于另一能量本征态|1>的概率为
?10F2222(E1-E0)??/?
四、综合题
1. 一根长度为d质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒的质量为M. 在棒的两端分别有电荷+Q和-Q. (1) 写出体系的哈密顿量、本征函数和本征值；
(2) 如果在转动平面内存在一电场强度为E的弱电场，准确到一级修正，它的本征函数和能量如何变化？
(3) 如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值. 2. 对于一个球形核来说，可以假定核子处在一个半径为R的球对称势阱中，势场是V???0 (r?R) .相应地，对发生微小形变的核，可
?? (r?R)以认为核子处在椭球形势阱中，势壁高仍为无限大，即势场是
?0 (在(x2?y2)/b2?z2/a2?1内)Vel??， 其中a≈R(1+2β/3), b≈R(1-β/3)，且
? （其他地方）?β<<1，利用微扰论，准确到一级近似，求椭球形核相对于球形核
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