二次函数知识点(终极级版A4打印版)

二次函数知识点

1.定义：一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax的性质

(1)抛物线y?ax（a?0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y?ax的图像与a的符号关系. ①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点 3.二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 4.二次函数y?ax222?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中h??22222b4ac?b2. ，k?2a4a25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y?ax；②y?ax?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax?bx?c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：

222当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2b?4ac?b2b?2（?，）(1)公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直线x??. ??2a?4a2a4a2a?2(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是x?h.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.

2(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线x??b,故：

2222a①b?0时，对称轴为y轴；②b?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；

a③b?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.

a(3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0，c)： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b?0.

a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 x?0(y轴) (0,0) y?ax2 当a?0时 2y?a?x?h? 开口向上 2y?a?x?h??k 当a?0时 开口向下 22y?ax2?k x?0(y轴) (0, k) (h,0) (h,k) x?h x?h bx?? 2a第- 1 -页 共2页

y?ax?bx?c 2b4ac?b2，(?) 2a4a 11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22 (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c). (3)抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

222ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标

为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组

2?y?kx?n的解的数目来确定： ?2y?ax?bx?c?①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

20?，B?x2，0?，由于(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1，bcx?x??,x?x?x1、x2是方程ax?bx?c?0的两个根，故 12 12aa2AB?x1?x2?2?x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c ?4x1x2???????aaa?a?2213．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程ax?bx?c?0就是二次函数y?ax?bx?c当函数y的值为0时的情况． (2)二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；

当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y?0时自变量x的值，即一元二次方程ax?bx?c?0的根．

(3)当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax?bx?c?0有两个不相等的实数根；当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程

222222ax2?bx?c?0有两个相等的实数根；当二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴没有交点时，则一

元二次方程ax?bx?c?0没有实数根

14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

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