高等代数(张禾瑞版)教案-第4章线性方程组

第四章 线 性 方 程 组

4.1 消元法

教学目的：

1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。理解线性方程组的和等变换是同解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。

2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。 设方程组:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1; a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2; (1) ……………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm. 1 线性方程组的初等变换: 例1

解线性方程组:

11 x1 + x2 + x3=1 235 (2) x1+ x2 +3 x3=3

342x1+ x2+5 x3=2

3

从第一和第三方程分别减去第二个方程的

1倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x1(即2把x1的系数化为零).我们得到:

111 x1 - x3= - 2225 x1+ x2+3 x3=3

3--2 x2- x3=-4

为了计算的方便,我们把第一个方程乘以-2后,与第二个方程交换,得:

x1+

5 x2+3x3= 3 3x2+ x3= 1 -2x2- x3=-4

把第二个方程的2倍加到第三个方程,来消去后一方程中的未知量x2,我们得到:

x1+

5x2+3x3= 3 3 x2+ x3= 1

x3=-2

现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程(相当于把x3的值-2代入第一和第二个方程),得

x1+

5x2=9 3x2=3 x3=-2

再从第一个方程减去第二个方程的 x1=4

x2=3 x3=-2

这样我们就求出了方程组(2)的解.

5倍(相当于把x2的值3代入第一个方程),得 3分析一下以上的例子,我们看到,我们对方程组施行了三种变换: 1) 交换两个方程的位置;

2) 用一个不等于零的数乘某一个方程; 3) 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换. 由初等代数知道,以下定理成立.

定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组边为一个与它同解的线性方程组. 2 矩阵： 利用线性方程组(1)的系数可以排成如下的一个表:

?a11??a(3) ?21...???am1aaa1222...m2............??2n?, ...??amn??1naa而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:

?a11??a21?(4) a31??...???am1

aaaa122232...m2...............aaa1n2n......mn...??bm??b??b??b?.

123定义1 由st个数cij排成一个s行t列的表

?c11c12??c21c22???????cs2?cs1

????cc??2t?? ?cst??1t叫作一个s行t列（或s?t）矩阵。叫

cij作这个矩阵的元素。

注意： 矩阵和行列式虽然形式上有写类似，但有完全不同的意义。一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。

我们把矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和

增广矩阵。一个线性方程组的增广矩阵显然完全能够代表这个方程组，我们按照线性方程组的初等变换引入矩阵的初等变换的概念

定义2： 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： 1) 交换矩阵的两行（列）;

2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等 于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；

3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某 一数乘矩阵的某一刚（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。因此我们将要通过化简急诊来讨论化简线性方程组的问题。这样作，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出。我国古数学书九章算术（至迟写成于三世纪）中，就是用这种方法解线性方程组的。在对一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左段化简。因此我们先来研究，利用三种初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题。在此，为了叙述方便，除了行初等变换外，我们还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种初等变换。后一种初等变换相当于交换方程组中未知量，这对于方程组的研究显然没有什么影响。

在例1里，我们曾把方程组（2）的系数矩阵

?1??2 ?1???2?先化为

1?1?3?53?。 ?3?45?3???1? ?0?0??然后进一步化为

5?3?3?11? 01????100??? ?010?

?001???对于任一线性方程组的系数矩阵来说，我们一般不能它化为这样简单的形式。但我们有 定理4.1.2 设A是一个 m行n列矩阵：

?a11??a A=?21...???am1?1??0?0（5）r行 ??.....?...??0?*10*1aaa1222...m2............??2n? ?...?amn??1naa通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：

......*...............................*??*?*?? ..?...??0??进而化为以下形式：

?1??0?...? (6) ?0??0?...??00100...00...00...1ccc1,r?12,r?2.....................cc...................................................r,r?1.........??2n?...?? crn??0?...??0?1n这里r≥0,r≤m,r≤n,*表示矩阵的元素，但不同位置的*表示的元素未必相同。 证 若是矩阵A的元素

aij都等于零，那么A已有（5）的形式。设某一

aij不等于零。

必要时交换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角。用行分别减去第一行的适当倍数，矩阵A化为

1c乘第一行，然后由其余各

ij?1??0 B=

?...??0?**...*............*??*?。 ...??*??若在B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么B已有（5）的形式。设在B的后m-1行中有一个元素b不为零。把b换到第二行第二列的交点的位置，然后用与上面同样的方法，可把B化为

?1??0 ?0??...?0?*10...0*...*??*...*?*...*?。

?.........?*...*??如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵。形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是显然的。我们只要由第一，第二，…，第r-1行分别减去第 r行的适当倍数，再由第一、第二，……第 r-2行分别减去第r-1行的适当倍数，等等。?

现在考察方程组（1）的增广矩阵（4）。由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）。对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：

?1??0?...?（7）?0??0?...??0?

0...01...0...........................0...1.........ccc1,r?12,r?1.....................ccc1r2n...r,r?1...rn.........0...0??2?...?? dr??dr?1?...??dm??1dd与（7）相当的线性方程组是

xi +c1,r?1xi

1+….+

r?1

cxi=d1nn1

xi +c2,r?1xi

2r+….+

r?1

cxi=d2nn2（8） ……………………………………..

xi+cr,r?1xi

+….+

r?1

cxi=dr1nnr

0=

dd

r?1 ……………………………………… 0=

m

这里i1,i2, …，in是1，2，……,n的一个排列。由于方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换 未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1方程组（8）与方程组（1）有相同的解。因此要解方程组（1），只需解方程组（8）。但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出。

情形1。R

dr?1，…..

d

m

不全为零。这时方程组（8）无解，因为它的后m-r个方

程组至少有一个无解。因此方程组（1）也 无解。

情形2。R=m或R

dr?1，…..

d

m

全为零，这时方程组（8）与方程组

xi+c1,r?1xi

1+….+

r?1

cxi=d1nn1

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