高三数学三垂线定理及其逆定理

高三数学三垂线定理及其逆定理(说课稿)

堡子店中学 黄磊

一．内容分析：以前面学过的“三垂线定理及其逆定理”为基础，重新剖析研讨三垂线定

理及其逆定理，安排了利用定理进行证明和求解的例题与练习。本节内容具有逻辑性强、体系性强、难度较大的特点，在某种程度上是对空间两条直线垂直关系的一个系统完善。

二．地位和作用：三垂线定理是空间两条直线垂直的判定定理，是把某些空间图形转化

为平面图形的重要依据。经常用此定理去解决二面角、点到直线的距离、直线到直线的距离以及直线和平面垂直等问题。本节内容主要解决空间两条直线垂直的判定。 三．教学目标：

知识目标：通过学习，让学生在掌握三垂线定理与其逆定理的基础上加深对它的理

解，掌握运用其证明空间两条直线垂直。

能力目标：通过问题的探索，培养学生的空间 想象能力、逻辑思维能力和转化能力。 德育目标：通过揭示正逆定理的对立统一，渗透辩证唯物主义观点，欣赏数学美。 四．教材的重点难点：三垂线定理及其逆定理是立体几何中证明线线垂直的重要定理，它们将空间两条直线的垂直问题平面化，体现了化归的思想方法，而且在解决有关“角”与“距离”等问题时也常常要用到这两个定理。确定本节教学的重点为三垂线定理及其逆定理,难点是应用其证明空间两条直线的垂直。 五．教学过程： 1、复习：

（1） 基本概念

三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 (2) 定理内容分析

三垂线定理及其逆定理的比较 相同点：

a. 结构相同，都是由线线垂直推证线线垂直； b .证明方法相同，都采用了线面垂直法. 不同点：

a. 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直;而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；

b. 条件与结论不同，原定理是：“与射影垂直与斜线垂直”；逆定理是：“与斜线垂直与射影垂直”. 2、讲授新课：

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师：上一节我们复习了三垂线定理及其逆定理．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．

例1 如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证： △ABC是锐角三角形．

师：这一题证法很多，所以我们要多想几种证法．

所以 ∠BAC是锐角．

同理可证∠ABC，∠ACB都是锐角． 师：我们能不能直接用三垂线定理来证？

生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．

2

师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？

生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角．

师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2．

例2 如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．

师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可．

生：因为 PA⊥BP，PA⊥CP， 所以 PA⊥平面PBC．故 PA⊥BC．

对于平面ABC来说，PH是垂线，PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线． 因为 PA⊥BC，所以 AH⊥BC．

同理可证BH⊥AC，CH⊥AB．故H是△ABC的垂心． 师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3．

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例3 如图3，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．

师：要证明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？ 生：用反证法．

师：为什么想到用反证法？ 生：因为直接证不好证．

师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是△PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明．

生：假设O是△PBC的垂心，则BO⊥PC．

对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影． 因为 BO⊥PC，所以 AB⊥PC．又因为 PA⊥平面ABC，PA⊥AB，

所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，与已知∠BAC是锐角相矛盾．所以假设不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心．

师：分析例3我们可以看出例3是由例2演变而来．也就是说在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心条件下一定可以推导出AB⊥AC．是例2的逆命题再加以演变而得．现在我们来看例4．

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例4 如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：

（1）PO与平面α所成的角的正弦； （2）PO的长．

师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．

生：因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝

师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下面我们来看例5．

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（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；

（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．

师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理．

生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理．

师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？

生：作MP⊥A1B1于P，又因为D1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1． 师：对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我们要证MN⊥B1D1，只要证PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1⊥B1D1，所以现在只要证PN∥A1Q1即可．我们如何利用已知条件来证PN∥A1O1．

6

＝O1N∶NB1，所以PN∥A1O1，所以PN⊥B1D1，故MN⊥B1D1．同理可证MN⊥A1B，

所以MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线．

师：已知正方体的棱长为a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的长？

师：这是一道很好、很典型的题，它很巧妙、很直接地求出异面直线A1B，B1D1的公垂线及这两异面直线的距离．这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索．

例题6：:如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C

证明：连结BD，连结A1B ∵DD1⊥平面ABCD

D1C1 ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影

∵ABCD是正方形∴AC⊥BD

A1 (AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1 B1

( 请思考：如何证明D1B⊥AB1 )

同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 ⊥ BD1 ,而AC ∩AB1 =A ∴BD1⊥平面AB1C

关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出或作出平面的垂线,至于射影则是由垂足和斜足来确定的。

证明a⊥b(线线垂直)的一个程序：一垂、二射、三证。A即

第一、找或作平面垂线.

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D BC

第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。 第三、证明直线a与射影线垂直，从而得出a与b垂直。

今天就讲这六个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题．

3．课堂练习

1.判断下列命题的真假：

⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）

⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）

⑶若a是平面α的斜线，直线b? α且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b （ ）

⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ） 2. 在正方体AC1中，

求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 4、课堂小结：

从知识内容、方法和思想三个方面参与小结。 知识内容：三垂线定理及其逆定理； 应用步骤： “一垂二射三证”

思想方法：转化思想，转化的关键是“找平面的垂线”。 5、布置作业： １．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。

（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，若DA=a，且∠BDA=∠CDA=60°， ∠ BDC=90 °，求BC的长。

（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？ ２．已知P在平面ABC内的射影是O，

若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是 △ABC的 。 若PA=PB=PC ，则点O是△ABC的 。

若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC 的 。

探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。

探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是△PAC的垂心。

探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，∠BPC=９０ ° ． 求证：∠BPA= ９０ ° ，∠APC= ９０ ° 。

2009年9月

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