郑州大学 2006-2007 学年第一学期 A 卷

2006级 线性代数 课程试题（A卷）

题号 分数 一 二 三 四 五 六 七 总分 合分人：复查人：

一、（每小题9分，共 18分）

分数 评卷人 1）已知三点A（2，3，1），B（4，1，-2），C（6，3，7），求三角形ABC的面积和AB边上的高。

2）求过点（2，-1，3）与直线

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x?1yz?2??垂直相交的直线方程。 ?102二、计算（每小题6分，共 12分）

1031002041?C2100分数 评卷人 2041031204r2?2r123951）199200395301300600?100×199?1031100×?7?80?13 0?123013600r3?3r1＝100×4×

71323＝400×（－5）＝－2000

2）设A?(A1,A2,A3)为三阶矩阵，A??4，Ai是A的第i个列向量，计算

A3?3A1,A2,4A1。

＝?3,?2,4?1?3?1,?2,4?1＝－4A1,A2,A3＋0＝－4×（－4）＝16

三、（共10分）

?2x1?x2?x3?x4?1? ?x1?x2?x3?4x4?1?x?2x?4x?11x??234?1分数 3 有解，并求解。（要求用向量形式表示）

?21111???解：11?141????12?411???r1?r21??11?141??11?14??????21111?→?0?13?7?1?

??12?411?????01?37??1??1??11?14???1→0?13?7?? 当λ＝2时，方程组有解。 ?00??2??00?1??102?30??11?14?0?13?7?1??01?371?? ??→??00?000??000??00??

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?x1??2x3?3x4?0?x?3x?7x?1?234通解为: ??x3?x3??x4?x4?x1???2??3??0??????????x2??3???7??1?＝++?? (k1,k2∈R) kk1?2??x???010???3??????x??0??1??0??4???????分数 评卷人 四、（共10分）

设?1?(1,0,3,1),?2?(?1,3,0,?1),?3?(2,1,7,2),?4?(4,2,14,0)，求向量组

?1,?2,?3,?4的极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组

线性表处。

?1?1?T??T?T?=?03??1,?T,??23,?4????30??1?1??1?1?03→??00??00?210024??1?1??12??03→??71403???20???002130024??1?1??12??03→??1200???0?4???00?0??0? ?1??0?21004??2? ?1?0??0??1?1??0??01→??1??00?0???00?0??1??0???→?01??0?0???073113000001?3?1，?2，?4为最大无关组，?3＝?1＋?2

????7?3

五、（共 18分）

222分数 评卷人 用正交线性替换X?TY化实二次型x1?x2?x3?4x1x3为标准形 (要写出所作的正交线性替换与标准二次型)。

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??10?2?102???A＝?0?10??E?A＝0??10＝解：（λ＋1）（?2?2??3）

?201??20??1??＝???1?2（λ－3）＝0 ?1??2??1，?3＝3

??20?2??101?????当?1??2??1时，（－E－A）＝?000?→?000?

??20?2??000??????x1??x3?0???1??0???1???????????1?? ?＝，＝。令＝，＝p2p1?1??x2?x2?1?1??2?0??0?2???x?x?0??1??0?3???????1??3?20?2??10?1??x1?x3????当?3＝3时，（3E－A）＝?040?→?010?，??x2?0

??202??000??x?x3?????3?1??1????1??＝，令＝p3?3?0??0?。正交矩阵：

2???1????1???0?1?2????T＝（p1，p2，p3）＝10?1?02???22 X?TY化f=?y12?y2?3y31?2?0?，所求正交变换为： ?1?2?六、（每小题9分，共18分）

分数 评卷人 aa??aa???aa?a?a?2nA?,A,A1．已知。 ?a?aa?a?求

???a?a?aa???

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?4a2??0A2=??0?0?04a2002004a200??0?2A, 若a=0,则＝0. ?0?4a2??345若a≠0, 则A＝4a2E, A?4a2A, A=(4a2)2E, A=(4a2)2A……

n???2a?E,当n为偶数时所以A＝?

n?1?（?2a）A,当n为奇数时n?100??011?????2．（10）已知A??110?,B??101?，且矩阵X满足AX?BA，求X。

?111??110??????221???解：BA＝?211?

?210????100221??100221?????（A，BA）＝?110211?→?0100?10?

?111210??00100?1??????221??? X所以＝?0?10?

?00?1???七、（每小题7分，共 14分）

分数 评卷人 k（1）已知A是幂零矩阵，即存在正整数k，使得A?0。证明E?A可逆。

?112???（2）已知矩阵?12t?正定，求t的取值范围。

?2t4???证明（1）：因为 E－Ak＝（E－A）（E＋A＋A2＋。。。Ak?1），所以E－A可逆，且 。。Ak?1 (E?A)?1＝E＋A＋A2＋。

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（2）1?0,11112?0,12t??(t?2)2?0，所以t 的取值为空集，即该对称阵不可能122t4是正定阵。

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