课时跟踪检测(四十六) 椭 圆(重点高中)

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课时跟踪检测（四十六） 椭 圆

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

y2x2

1．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－

431)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )

A．2 C．4

B．3 D．5

y2x2

解析：选D ∵椭圆方程为＋＝1，

43∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)， 连接PB′，AB′，根据椭圆的定义， 得|PB|＋|PB′|＝2a＝4， 可得|PB|＝4－|PB′|，

因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|) ＝4＋(|PA|－|PB′|)． ∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，

∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.

当且仅当点P在AB′延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.

x2y2

2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥

43―→―→

F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则F1P·F2A的最大值为( )

A.3

2

33 B.

215 D.

4

9C. 4

解析：选B 由椭圆方程知c＝1， 所以F1(－1,0)，F2(1,0)．

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因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)， 93

代入椭圆方程可得y2＝，所以y＝±. 00

42

―→―→

设P(x1，y1)，则F1P＝(x1＋1，y1)，F2A＝(0，y0)， ―→―→所以F1P·F2A＝y1y0.

因为点P是椭圆C上的动点，所以－3≤y1≤3， 33―→―→故F1P·F2A的最大值为. 2

x2y2

3．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若

abAB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )

x2y2

A.＋＝1 4536x2y2

C.＋＝1 2718

x2y2

B.＋＝1

3627x2y2

D.＋＝1

189

1

解析：选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－

2a22?2329222x2y2?3)，代入椭圆方程2＋2＝1消去y，得?4＋b?x－ax＋a－ab＝0，所以AB的中点的

ab2432

a2

横坐标为2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝9，a2＝18，即椭圆E的方程

a

＋b2?2??4?x2y2

为＋＝1. 189

x2y2

4．如果椭圆＋＝1的弦AB被点M(x0，y0)平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM(O

369为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2的值为( )

A．4 C．－1

1 B. 41

D．－ 4

解析：选D 设直线AB的方程为y＝k1x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．代入椭圆方程并

22

整理得，(1＋4k21)x＋8k1bx＋4b－36＝0，x1＋x2＝－

8k1b

2

1＋4k1

，又中点M(x0，y0)在直线AB

y1＋y2?－4k1b，b??x1＋x2?b

上，所以＝k1?，从而得弦中点M的坐标为?1＋4k21＋4k2?，∴?＋b＝211???2?1＋4k21

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b

11

k2＝＝－，∴k1k2＝－.

4k1b4k14－

1＋4k21

5．已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )

A.26

13

226 B. 13413 D. 13

1＋4k21

213C. 13

解析：选B 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)， ＝－1，??x＋2

则有?

yx－2??2＝2＋3，

111

y1

解得x1＝－3，y1＝1，则A1(－3,1)，

易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝26， 因此椭圆C的离心率e＝

4226

＝的最大值为. 13|PA|＋|PB||PA|＋|PB||AB|

x22

6．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知椭圆C：＋y＝1的两焦点为F1，F2，

2x20点P(x0，y0)满足0＜＋y20＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________． 2

x20解析：由点P(x0，y0)满足0＜＋y20＜1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因2为a＝2，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝22，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,22)．

答案：[2,22)

x2y2―→―→7．已知M(x0，y0)是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)上一点，A，B是其左、右顶点，若2AM·BM

ab

2

＝x20－a，则离心率e＝________.

―→―→―→―→

解析：由题意知A(－a,0)，B(a,0)，∴AM＝(x0＋a，y0)，BM＝(x0－a，y0)，∵2AM·BM

2

＝x20－a，

2222222

∴2(x20－a＋y0)＝x0－a，∴x0＝a－2y0.

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2222a－2y0x2yy000又2＋2＝1，∴＋2＝1， aba2b

21

∴－2＋2＝0，∴a2＝2b2，

ab

22

c2a－bb2112∴2＝2＝1－2＝1－＝，∴e＝. aaa222

答案：

2

2

2

2

x22

8．(2018·湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x＋(y－1)＝3和椭圆＋y＝1上的点，

4则P，Q两点间的最大距离是________．

解析：依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，

设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为 d＝＝

x2＋?y－1?2＝

－3y2－2y＋5

116y＋?2＋， －3??3?3

143

∵－1≤y≤1，∴当y＝－时，d取最大值，

334373

所以P，Q两点间的最大距离为＋3＝. 33答案：

73

3

x2y2

9．已知椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，

ab∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面积为3.

(1)求椭圆G的方程；

(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．

解：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a， 于是c＝asin 60°＝

31a，b＝acos 60°＝a. 22

11?1a?＝3，解得a＝2，b＝1. 所以△MF1F2的面积S＝·(2c)·b＝·(3a)·?2?22x22

所以椭圆G的方程为＋y＝1.

4

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(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k(x－t)． 由于直线l与圆O相切， 则圆心O到l的距离d＝即k2t2＝k2＋1， ①

22??x＋4y＝4，联立?

?y＝k?x－t?，?

|kt|k＋1

2

＝1，

化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝. 2

1＋4k

8tk2

??y0＝k?x0－t?，tk2

设Q(x0，y0)，有?y0解得x0＝. 12

1＋k??x0＝－k，

由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0.

21因此＝t＋，化简得k＝，

21＋4k21＋k2

8tk2tk2

将其代入①式，可得t＝±3.

x2y2

10．(2018·成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点

54为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

π

(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；

4

(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l. 解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)． π

(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.

4∴直线l1的方程为y＝x－1.

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