任意角的三角函数(第一课时)微课教案ME

人教版A版《必修4》微课教案

1.2.1 2017.4.18

任意角的三角函数的定义

第一课时

卢氏一高高二数学组李丽君

1.2.1 任意角的三角函数的定义

教学目标：

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；

2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.

3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.

4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度.

重难点：

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义.

难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数． 知识点：任意角的三角函数定义.

能力点：利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的定义，数形结合的数学思想的运用.

教育点：经历由锐角的三角函数到任意角的三角函数，由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究

的乐趣，激发学生的学习热情.

一、复习回顾、引入新课

我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

sin??对边邻边对边，cos?=，tan?=。 斜边斜边邻边引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

【设计意图】 学生已经在初中学习过锐角的三角函数，现在学习任意角的三角函数是一种推广和拓展的过程。温故知新，让学生从现有的知识上，建构新知识，符合新课程的要求。

二、 探究新知

（一）归纳定义

如图,设锐角?的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在?的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r?a2?b2?0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则根据锐角三角函数定义，我们有：

sin??MPbOMaMPb?;cos???; tan???. OPrOPrOMa【设计意图】 此处做法简单，思想重要。是理解任意角三角函数定义的关键，使学生能够很好的体会数

学发现的重要思想和方法。 y P′ P · 思考1：对于确定的角?，这三个比值是否会随点P在?的终边上的位置 α 在改变而改变呢？ M M′x O （图3）

引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角α的每一个 确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

得出结论(强调)：当α为锐角时，三个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化. 所以，三个比值分别是以角α为自变量、以比值为

函数值的函数.

思考2：结合上述锐角?的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？ 推广定义：设角?的终边上任意一点的坐标为(x,（1）sin??y)，它与原点的距离为r?x2?y2?0，那么：

y； rytan??(x?0)x（2）cos??；（3） xr思考3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？

我们可以在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离等于1，然后就可以类比锐角三角函数求出该角的三角函数。怎么样快速的找到与原点的距离等于1的点呢？我们在此引入单位圆的定义。

单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。

如右图，设?是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：

（1）y叫做?的正弦（sine），记作sin?，即sin??y；（2）x叫做?的余弦（cosine），记作cos?，

ytan??(x?0)y即cos??x；（3）叫做?的正切（tangent），记作tan?，即。 xx正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

[设计意图] 利用学生对锐角三角函数的理解，从思维和形式上进行拓展，从认知结构上吧三角函数推广到任意角．使学生能够有效的增强对于函数的理解。

（二）探究定义域

函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域。 那么什么是三角函数的定义域？填写课本13页，表1.2-1

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。 三角函数 定义域 R R sin? cos? tan? {?|???2?k?,k?Z} [设计意图] 定义域是函数三要素之一，研究函数必须指出其定义域。指导学生根据定义自主探究出三角函数的定义域，有利于学生在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数定义的掌握。

三、 例题讲解，理解新知

典例：求

5?的正弦、余弦和正切值。 3给学生一定的时间自学，让学生自己思考， 并试着总结解题步骤。然后老师讲评。 步骤：（1）画图，先画出直角坐标系和单位圆，再画出角的终边；

（2）求角的终边与单位圆的交点坐标。

①过交点向x轴作垂线，构造直角三角形； ②利用勾股定理求出直角边的长度； ③根据点的位置，确定坐标的正负。

（3）写结论。利用定义，求解各三角函数的值。

[设计意图]及时讲解例题，归纳总结步骤，然后进行同类型题目的练习，巩固和加深对三角函数定义的理解。利用给出的拓展定义，快速的解题，让学生体会到，收获的快乐，加深理解和记忆。

四、课堂小结：

本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 1．知识：任意角的三角函数的定义，及其推广定义。 2．思想：数形结合的思想、特殊与一般的思想．

强调: 对于定义，我们要加强理解，对于例题的解题步骤，我们要在课后及时的总结和识记，还要加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．

[设计意图] 依据艾宾浩斯遗忘理论，回顾总结知识是必须的，在课堂内及时的总结主要内容，有利于学生，巩固知识，建构知识网络，优化知识结构，培养良好的学习习惯．

五、布置作业

课本P20 习题1.2 A组 1.（2）、（4）,2

[设计意图]设计作业是引导学生通过复习来完成作业，培养学生良好的学习习惯。书面作业的布置，为了让学生能够运用课堂上的知识，以及解题步骤，解决简单的数学问题；

六、教后反思

七、板书设计

1.2.1 任意角的三角函数（一） 一、复习回顾sin??，三、任意角的三角函数的定义 如右图，设，对边邻边cos?=斜边斜边?是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 四、三角函数的定义域 五、典例解析: 六、课堂小结 tan?=对边邻边。P(x,y)，那么： （1）sin?（2）cos二、新知初探 sin???y； y(x?0)x。 MPb，OMa，?cos???OPrOPrMPb。 ?OMa??x； tan??（3）tan??

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