作业(二)答案：单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩

作业（二）单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩 1．如题图1所示的六杆机构中，已知滑块５的质量为m5=20kg，lAB=lED=100mm，lBC=lCD=lEF=200mm，φ1=φ2=φ3=90o，作用在滑块５上的力Ｐ＝500N．当取曲柄AB为等效构件时，求机构在图示位置的等效转动惯量和力Ｐ的等效力矩．

图1

答案：解此题的思路是：①运动分析求出机构处在该位置时，质心点的速度及各构件的角速度．

②根据等效转动惯量，等效力矩的公式求出． 做出机构的位置图，用图解法进行运动分析． VC=VB=ω1×lAB ω2=0 VD=VC=ω1×lAB 且ω3=VC/lCD =ω1

VF=VD=ω1×lAB (方向水平向右) ω4=0 由等效转动惯量的公式：

2

nJe??[mi(i?1nvSi?12

)2?JSi(?i2)]?12

Je =m5(VF/ω1)=20kg×(ω1×lAB／ω1)=0．2kgm

由等效力矩的定义： Me??[Ficos?i(i?1viMe =500×ω1×lAB ×cos180／ω1＝－50Nm （因为ＶF的方向

o

?1)?Mi(?i)]?1与Ｐ方向相反，所以α＝180o）

2．题图2所示的轮系中，已知各轮齿数：z1=z2’=20，z2=z3=40，J1=J2’=0．01kg·m2，J2=J3=0．04kg·m2．作用在轴Ｏ3上的阻力矩Ｍ3＝40N·m．当取齿轮１为等效构件时，求机构的等效转动惯量和阻力矩Ｍ3的等效力矩．

图2

答案：该轮系为定轴轮系．

i12=ω1/ω2=(-1)1z2/z1 ∴ ω2=－ω1/2=－0．5×ω1 ω2’=ω2=－0．5×ω1

i2’3=ω2’/ω3=(-1)1z3/z2’ ∴ ω3=0．25×ω1 根据等效转动惯量公式

Je??[mi(i?1nvSi?1)2?JSi(2

?i2)]?1Je= J1×(ω1/ω1)＋J2×(ω2/ω1)＋J2’×(ω2’/ω1)＋J3×(ω3/ω1)

222

＝J1＋J2／４＋J2’／４ ＋J3／16

＝0．01＋0．04／4+0．01／4+0．04／16 ＝0．025 kg·m2

根据等效力矩的公式： Me??[Ficos?i(i?1nvi?1)?Mi(?i)]?1Me=M3×ω3/ω1=40×0．25ω1/ω1=10N·m

3．在题图3所示减速器中，已知各轮的齿数：z1=z3=25，z2=z4=50，各轮的转动惯量J1=J3=0．04kg·m2，J2=J4=0．16kg·m2，（忽略各轴的转动惯量），作用在轴Ⅲ上的阻力矩M3=100N·m．试求选取轴

Ⅰ为等效构件时，该机构的等效转动惯量J和M3的等效阻力矩Mr．

图3

答案：i12=ωω3=ω2=ω1/2

1

／ω2=z2/z1 ω2=ω1/2

i34=ω3/ω4=z4/z3 ω4＝ω1/4 等效转动惯量：

J=J1(ω1/ω1)2+J2(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2+J4(ω4/ω1)2 =0．042+0．16×(1/2)2+0．04×(1/2)2+0．16×(1/4)2 =0．04+0．04+0．01+0．01 =0．1 kg·m2 等效阻力矩：

Mr=M3×ω4/ω1=100/4=25(N·m)

4．题图4所示为一简易机床的主传动系统，由一级带传动和两级齿轮传动组成．已知直流电动机的转速n0＝1500r/min，小带轮直径d=100mm，转动惯量Jd=0．1kg·m2，大带轮直径D＝200mm，转动惯量JD=0．3kg·m2．各齿轮的齿数和转动惯量分别为：z1=32，

J1=0．1kg·m2，z2=56，J2=0．2kg·m2，z2’=32，J2’=0．4kg·m2，z3=56，J3=0．25kg·m2．

要求在切断电源后２秒，利用装在轴上的制动器将整个传动系统制动住．求所需的制动力矩M1．

图4

答案：电机的转速n0＝1500r/min

其角速度ω0＝2π×1500/60=50π (rad/s) 三根轴的转速分别为： ω1=d×ω0/D=25π (rad/s)

ω2=z1×ω1/z2=32×25π/56=1429π (rad/s) ω3=z2’×ω2/z3=32×1429π/56=816π (rad/s) 轴的等效转动惯量：

JV=Jd×(ω0/ω1)2+JD×(ω1/ω1)2+J1×(ω1/ω1)2+J2×(ω2/ω1)2+ J 2’×(ω2/ω1)2+ J 3×(ω3/ω1)2

∴JV=0．1×(50π/25π)2+0．3×12+0．1×12+(0．2+0．1)×(14．29π/25π)2+0．25×(8．16π/25π)2 =0．4+0．4+0．098+0．027 =0．925 (kg·m2)

轴制动前的初始角速度ω1＝２５π，制动阶段做减速运动，即可求出制动时的角加速度

∴ωt=ω0－εt 即０＝25π－2ε

ε=12．5π

则在２秒内制动，其制动力矩Ｍ为： M=JV×ε=0．925×12．5=36．31 (kg·m)

5．在题图5所示定轴轮系中，已知各轮齿数为：z1=z2’=20，z2=z3=40；各轮对其轮心的转动惯量分别为J1=J2’=0．01kg·m2，J2=J3=0．04kg·m2；作用在轮１上的驱动力矩Md=60N·m，作用在轮３上的阻力矩Mr=120N·m．设该轮系原来静止，试求在Md和Mr作用下，运转到t=15s时，轮１的角速度ω1和角加速度α1．

图5

答案：i12=ω1/ω2=(-1)1×z2/z1 ω2=－ω1/2 i13=ω1/ω3=(-1)2×z2×z3/z1×z2’ ω3=20×20×ω1/40×40=ω1/4 轮１的等效力矩Ｍ为：

Ｍ＝Md×ω1/ω1+Mr×ω3/ω1 =60×1－120/4=30 N·m 轮１的等效转动惯量Ｊ为：

Ｊ=J1(ω1/ω1)2+(J2’+J2)(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2=0．01×1+(0．01+0．04)/4+0．04/16=0．025 (kg·m2)

∵M=J ×ε ∴ 角加速度ε＝Ｍ／Ｊ＝1200 (rad/s2) 初始角速度 ω0=0 ∴ω1=ω0+ε×t

ω1=1200×1．5=1800(rad/s)

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