11-12-2高数期中试卷及答案

河南理工大学 2011-2012 学年第 二 学期

《高等数学》期中试卷（A卷）

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1、已知yi?i?1,2?为y???P?x?y??Q?x?y?f1?x??f2?x?的特解, 则 ( )。

（A）y1?y2为y???P?x?y??Q?x?y?0的解；

（B）y1?y2为y???P?x?y??Q?x?y?f1?x??f2?x?的解； （C）C1y1?C2y2为y???P?x?y??Q?x?y?f1?x??f2?x?的通解； （D）2?y1?y2?为y???P?x?y??Q?x?y?2?f1?x??f2?x??的通解。

?(x,y)??sinxyy1?x2,y?02、函数f???在（0，0）点（ ）。

??0,y?0 （A）连续； （B）极限不存在；

（C）极限存在，但不连续； （D）无定义。 3、设直线L?x?y?61：?与?2y?z?3Lx?3yz?2：2?1?15，则L1与L2的夹角为（ （A）

?6； （B）??4； （C）3； （D）0。 4、二元函数f(x,y)在点P?x0,y0?处可微的充分必要条件是（ ）。 （A）fx?x0,y0?与fy?x0,y0?均存在；

（B）fx?x,y?与fy?x,y?在P?x0,y0?的某邻域内均连续； （C）?z?fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y是??x?2???y?2的高阶无穷小量；（D）以上均不正确。

5、曲面xyz?1上平行于平面x?y?z?3?0的切平面方程为（ ）。 （A）x?y?z?3?0； （B）x?y?z?1?0； （C）x?y?z?2?0； （D）x?y?z?0。 6、I??edxlnx1?0f?x,y?dy交换积分次序为（ ）。

1

）。

（A）（C）

?dy?1elnx0ef?x,y?dx； （B）?ydy?f?x,y?dx；

e01e0ee1?lny0dy?f?x,y?dx； （D）?dy?yf?x,y?dx。

1

二、填空题（每小题5分，共30分）

1、y???2y??ay?0当a? 时，通解形式为y?e?x?C1?C2x?。

2、球面x2?y2?z2?9与平面x?z?1的交线在xOy面上的投影方程为 。

223、xOz坐标面上的圆x?z?9绕z轴旋转一周，生成的旋转曲面方程

为 。 4、若f?x?y,??x?22??x?y，则f?x,y?? 。 y?5、计算二重积分

x2?y2?a2??xyd?? 。

6、lim2?xy?4? 。

x?0xyy?0

三、解答题（共46分） 1.（6分）设z?xy?xF?u?，而u?

y?z?z?y?z?xy。，F?u?为可导函数，证明x

x?x?y?xy2,?242.（8分）设f?x,y???x?y?0,??x,y???0,0??x,y???0,0?，

（1）计算fx?0,0?,fy?0,0?；（2）证明f?x,y?在点?0,0?处不连续。 3.（8分）求

dyysinx??满足初值条件ydxxxx???1的特解。

????????4.（8分）若a?5,b?2,??a,b???3，求：

????????(1)2a?3b?a?2b；(2)2a?3b。

??????5.（8分）在平面xOy上求一点，使它到x?0，y?0及x?2y?16?0的距离平方之和

2

最小。

6.（8分）设平面薄片所占的闭区域D由直线x?y?2，y?x和x轴所围成，它的面密度为??x,y??x2?y2，求这薄片的质量。

河南理工大学2011-2012学年第二学期期中考试

《高等数学》试卷（A卷）标准答案

一、 单项选择题（每小题4分，共24分） 1、A；2、A；3、C；4、C；5、A；6、D。

二、填空题（每小题5分，共30分）

?2x2?y2?2x?81、1； 2、?；3、x2?y2?z2?9；

z?0?x2?y?1?1414、；5、a；6、。

241?y

三、计算下列各题（共46分） 1.（6分）设z?xy?xF?u?，而u?

y?z?z?y?z?xy。，F?u?为可导函数，证明x

x?x?y解：

?zy?y??y?F?u??xF??u????y?Fu?F??u?， ???2??xx?x??z1?x?xF??u???x?F??u?， ?yx从而x?z?z?y?xy?xF?u??yF??u??xy?yF??u??z?xy。 ?x?y?xy2,?242.（8分）设f?x,y???x?y?0,??x,y???0,0??x,y???0,0?，

（1）计算fx?0,0?,fy?0,0?；（2）证明f?x,y?在点?0,0?处不连续。 解：（1）fx?0,0??limx?0f?x,0??f?0,0??0,

x?0 3

f?0,y??f?0,0?fy?0,0??lim?0；

y?0y?0ky4k?（2）limf?x,y??lim2， 24y?0y?0?k?1?yk?1x?ky2x?ky2其值与k有关，故极限不存在，从而不连续。

dyysinx??满足初值条件ydxxxdy?y?sinx， 解：方程两边同乘x得xdxd即?xy??sinx， dx3.（8分）求

故xy?sinxdx??cosx?C， 由初值条件yx???1的特解。

?x???1得

??1??cos??C?C???1， 故方程的解为xy??cosx???1， 即xy?cosx???1。

????????4.（8分）若a?5,b?2,??a,b???3，求：

????????(1)2a?3b?a?2b；(2)2a?3b。

??????????解：（1）2a?3b?a?2b?4a?b?3b?a?7b?a

??????????????????????于是，2a?3b?a?2b?7a?b?sin?a,b??7?5?2?sin?353; 3???2?????2??b （2）2a?3b?2a?3b?4a?9b?12a??????????4?52?9?22?12?5?2cos?3?136?60?76

??于是，2a?3b?76?219。

5.（8分）在平面xOy上求一点，使它到x?0，y?0及x?2y?16?0的距离平方之和最小。

解：点?x,y?到x?0，y?0及x?2y?16?0的距离平方之和

A?x,y?

?x?2y?16??x2?y2?1?222?x2?y2?12?x?2y?16?， 54

A?x,y?对x、y分别求偏导数却令其为零，得

2?2x??x?2y?16??0(1)??5 ??y?2x，

4?2y??x?2y?16??0(2)?5?将y?2x代入(1)式可得2x?从而x?2?x?4x?16??0， 5816?816?，进而y?，得A?x,y?的唯一极值点?,?，而该问题有最小值， 55?55?816，y?时，取得最小值。 556.（8分）设平面薄片所占的闭区域D由直线x?y?2，y?x和x轴所围成，它的面密

故当x?度为??x,y??x?y，求这薄片的质量。

2222x?y??dxdy??dy???D012?y1?17322x?ydx?dy ?2?y??2y2?y3????0??3??3解：m?y??124?2?y?10?y31231071??y43410?4。 3 5

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