运用数形结合 巧解数学问题(2)

阜阳师范学院本科毕业论文（设计）

例 1:外语学校有英语(论坛)、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（ ）。 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人

【解析】B。此题应该用文氏图法，将能教英语、日语、法语的教师分别设为不同的集合。先设所有集合的交集为2，依题意得文氏图（见下图）。

由图可得只能教法语的老师为：27－8－6－3－2－2－1＝5人。

例 2: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。

分析: 在解题中，当我们遇到对应的两个有限集合,可以借用数轴把这些表示出来, 这样就可以更加清楚有效的知道结果。如图 2, 通过图像我们不难可以得出A∩B=[0,3]。

图2

(二)、解决函数问题

利用对应的图形的对应直观性来研究对应函数的取值范围(或最值)。求对应的变量的对应的函数值的范围，利用对应数形结合思想去考查对应的化归，转化能力、逻辑思维能力。当然这是函数教学中的一项重要培养方面。

例3 函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)g(x)的图象可能是( )

y y 1 1 -1 O 1 x -1 y=g（x）

?? ? O ?2?? y -1 y=f（x） ? ? x 2y y y O x O x O x O x 5

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A B C D

解析 由函数y=f(x)与y=g(x)的图象易知，函数y=f(x)g(x)的定义域为x≠0，从而排除C、D；又由函数y=f(x)与y=g(x)的图象知它们分别是偶函数和奇函数，从而函数y=f(x)g(x)是奇函数，从而排除B，故选A.

?例4 已知函数y=f(x)的图象如下左图所示，则函数y=f(2-x)sinx在?0,??上的大致图象为( ).

y 1 O

y y y y ?2 x O ?2 ? x O ?2 ? x O ?2 ? x O ?2 ? x A B C D

????解析 只能采用取特殊值验证排除法. 令x=4，y=f(2-4)sin4>0，排除C、D；

3?3??3?令x=4，y=f(2-4)sin4<0，排除B. 选择A.

(三)、解决方程与不等式的问题

在我们已知的在解决方程的题目时，可以把求方程的根的问题转化成对应函数图像的交点的对应问题。在解决对应的不等式问题时，我们可以从对应的题目中的条件与对应的关系出发，联系对应的相关关系。最后来分析其对应的意义，对应从其中的图形中来看出我们对应的解题的具体思路。

例 5: 已知方程(x2?4x?3)2=px，有 4个不相同的实数根, 求对应实数p 的有效的取值范围。

分析: 设y =(x2?4x?3)2=x2?4x?3与y=px这两个对应的函数在同一直角坐标系内, 分别画出这两个函数的对应的图像, 如图5。根据题意可以得出：

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图5

(1)对应的直线y= px 与y= -(x2- 4x+ 3) , x?[ 1, 3 ]在可以相切时原方程有3个根。

(2) y= px 与 x 轴在重合时, 原方程有两个不同的解。在对应满足条件的直线y= px

?y??(x2?4x?3)应在这两者之间来回摆动, 由:? 得

?y?pxx2+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±23 , 当p= 4+ 23时, x= - 3? [1, 3 ]舍去, 所以对应的有效实数p是 0< p< 4- 23 。

1)内恒成立, 求对应的a的取值范围? 21分析: 原对应的不等式可转化为x2 < ㏒ax，x?（0,)，设y1= x2与y2= ㏒ax。在

211对应的坐标系可以作出y1= x2，在定义域x?（0,)的对应图像，如图知当x=时，y1= x2

22111=，当然, 当x?（0,)时，y1< 就对应会恒成立。 4241①当a >1 时, 在（0,)上y2= ㏒ax图像( 如图6 )在y1= x2的图像的下面, 当然

2例 6: x2- ㏒ax < 0, 在（0,

对应不符合题意。

图6

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1②当 0< a< 1 时，y2= ㏒ax在区间对应（0,)上的对应图像（ 如图7）是单调减

211函数。只需要对应的 y2? ，就可以使得x2< ㏒ax，x?（0,)可以恒成立。

42

图7

故㏒a1111?1??，㏒1a?4，知道a?（）4= , 综上可得出a∈?,1? 。 24216?16?2把对应的方程不等式有效的转化为对应函数,。利用函数图像解决对应的问题是数形结合的一种有效的途径。

(四)、解决三角函数问题

在三角函数中，利用数形结合的思想解决一些问题可以带来极大的方便，也容易理解，使一些抽象的问题形象化。

?pp?例 7： 设 x??，?，求证: cscx - cotx?2 - 1

?42?分析: 根据对应的条件进而联想到我们熟悉的等腰三角形。因此可以构造一个等腰直角三角形ABC, 如图8，设∠CDB=x, 利用 AD+DB?AB=2，可得cscx - cotx?2 - 1。

图8

例 8 ：试求方程80sinx?x的实根的个数以及所有实根的和． 解：解决这类问题宜从函数的角度来考虑．

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由80sinx?x得

sinx?xx?1??180．∴80，即?26??x?26?．

x(?26??x?26?)80，方程80sinx?x的实根，即是以上两个函数图

g(x)?x80均为奇函数，其图象关于原点对称，因此只

设f(x)?sinx，

g(x)?象交点的横坐标．由于f(x)?sinx，须画出[0,26?)内的图象．

yf?x? = sin?x?g?x? = x80??图2????????????x???由于f(x)?sinx和

g(x)?x80的单调性，可知在f(x)?sinx的任意两个相邻的对称轴之

间，这两个函数最多只能有一个交点（见图2），而f(x)?sinx的对称轴方程为

x?k???2(k?Z)，当0?x?26?时，两个函数图象共有25个交点，又由于两个图象均过

原点，所以当?26??x?26?时，两个图象共有2?25?1?51个交点，即方程80sinx?x共有51个实根．由于这些实根关于原点对称，可知这51个实根之和为0．

(五)、解决线性规划问题

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型。

例9：已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是

（ ）

y A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

?2x?y?m?3?0?2x?y?m?3?0解：|2x－y＋m|＜3等价于?

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