第十届小机灵杯四年级综合二解析

第十届小机灵杯四年级综合二解析

1. 计算 [规律1…1*1…1=123…n…321 （n为1的个数）]

结果=1111*1111*8+1111*1111*55 =1111*1111*（8+55）

=1111*1111*（7*9） =9999*7777

=（10000-1）*7777 =77762223（4个奇数）

2. 对组1，首先提取8

7肯定不在组1，否则7+8=15，没有任何其他一对数可以满足， 同理6也不在组1。因此6、7在组2。

5肯定在组1，否则组2中的6+7=13，在组1中将不会有任一对数可以满足。 同样推理1~4，1、4在一组，2、3在一组。

显而易见，1、4在组2，否则如果在组1，4+8=12，在组2中不会有任一对数可以满足。 结果：1、4、6、7一组，2、3、5、8一组 3. 对角线法，推出结果=18种

关键处是：一个点到下一个点只有一条路径时，这两个点的对角线值相等。

4. 没啥好解释，肉眼看吧

5. 设最小的数为N，则N+N+1+N+2+N+3=4N+6=58－＞N=13

结果=13+6+13+7+13+8=60

6. 一条航线连接两个城市－＞所有城市所拥有的航线之和=66*2=132

假设有N个城市，每个城市都与其他城市有航线，即有N-1条航线，因此所有城市所拥有的航线之和=N*(N-1)

11*11=121＜132＜12*12=144。（记住11~20的平方数是有必要的） 结果=12 7. 算法一：

不知道培训老师会怎样教这种类型的题目，用方程组这样的数学语言来表达更清晰 过隧道的题目，通常计算距离时，要多计算一个车长。 假设火车全长X米，火车原速Y米/秒 根据条件一：Y*18=X+250 （1） 根据条件二：2Y*12=X+400 （2） （2）－（1）：6Y=150，Y=25（3） （3）带入（1）X=200

算法二：（Skykiller补充）

火车速度提高一倍后，通过250米长的隧道用：18/2=9秒

火车加速后，在12-9=3秒的时间内，可以行驶：400-250=150米，速度=150/3=50米/秒。 加速前速度：50/2=25米/秒。 火车长：25*18-250=200米。

9/9/2011 by headsea

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8. 图形分割。结果=47-1-3-2-4-3-1-4-2=27。

1 3 2 2

4 4 1 3 9. 算法一

这是一个类似周长的问题。 水池周长 N0=（5+3）*2=16

第一圈铺完： B、D、H、F所用瓷砖=E周长/瓷砖边长；A、C、G、L刚好四块瓷砖－＞ 第一圈铺完用的瓷砖 N1=16/1+（4*1）=16+4*1=20， 由于瓷砖边长为1，因此外围周长=16+4*2，

依次类推，第二圈铺完用的瓷砖 N2=（16+4*2）/1+（4*1）=16+4*3=28 而周长=16+4*4 显然：N1，N2。。。是一个公差4*2=8，首项为20的等差数列。 假设路宽X米，也就是说铺X圈 第X圈所用的瓷砖 Nx=20+（X-1）*8

根据等差数列的公式，总共所用的瓷砖数=（20+8（X-1）+20）*X/2=180 （8X+32）*X=360－＞（X+4）*X=45

由于还没有学过方程式的因式分解，可以试入法，得出结果：5

A B C D E F G H L 教会小孩因式分解解方程，很多题目会事半功倍吧。?

算法二：（Skykiller补充）

用面积去考虑，设路宽为x米，x为正整数。 长为：5+2x；宽为3+2x

面积=（5+2x）*（3+2x）=180+5*3=195 尝试可得：x=5米。

10. 算法一：（Skykiller补充）

三角阵斜下均为列的完全平方数，第204列最后一个数为：204*204 第204列的第1个数为：203*203+1

中间数：（204*204+203*203+1）/2=41413

9/9/2011 by headsea

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算法二：

每一列的数字个数形成了一个公差为2的等差数列 问题变为第204列中间的数字是几？

数字链以1为单位增长，因此问题也就演变成求204列中间的数在整个数字链中的位置 在203列，数字个数为：1+2*（203-1）=405，因此第204列，数字个数为：407+2=407。 204列中间的数在204列的位置为 204。 1~203列，数字个数总数为：（405+1）*203/2=203*203。

因此204列中间的数在整个数字链中的位置=203*203+204=41413。

算法三：

“以1开头的行”的数字列（1）为1、3、7、13、。。。

其相邻两数的差构成了首项为2，公差为2的等差数列（2）：2、4、6、。。。 数列（1）中第204列的数与首项1的差，即数列（2）中203列的数之和 数列（2）中203列的数=2+（203-1）*2=406

数列（2）中203列的数之和=（406+2）*203/2=203*204=41412 结果：41212+1=41413

11. 乘法分配律的逆运算推断

（1+3+5+7）*（2+4+6）*（9+11）=3840

12. 任何三个相邻数的和都大于15，则这个和最小是16。

设这七个数从左到右排列，依次为a,b,c,d,e,f,g。

这7个正整数的和为（a＋b＋c）＋（d＋e＋f）＋g =（a＋b＋c）＋d＋（e＋f＋g）=a＋（b＋c＋d）＋（e＋f＋g）

这七个数的和最小是 16＋16＋g 或16＋d＋16或a＋16＋16 要使7个正整数的和最小，g,d,a的值应该尽可能小。由于这7个数各不相同，所以g,d,a这三个数分别取1,2,3。

如果a＋b＋c=16，则b＋c＋d＞16，因为若b＋c＋d=16，则a=d，可见d＞a；同理，如果e＋f＋g =16，则d＋e＋f＞16，此时d＞g。所以d至少是2。若a＋b＋c和e＋f＋g都是16，则d＞a，d＞g，d至少是3。16＋3＋16=35。

同样可证：a＋b＋c和d＋e＋f都是16，g＞d＞a，g至少是3；b＋c＋d和e＋f＋g都是16，a＞d＞g，a至少是3。

可以构造出了这样的七个数和为35：1，7，8，2，9，5，3；或1，7，8，3，9，5，2。 结果：这七个数的和最小是35。

http://bbs.eduu.com/thread-930837-1-1.html

13. 设最低工资为A，则最高工资为2A，其他5位的工资为X

则：A+2A+X=3A+X=4000*7=28000（1）

要使A最大化，则X要尽可能小，但又要满足5位的工资不能低于A（因为A是最低工资），因此，X最小为5A，带入（1）得到：8A=2800 结果：3500

9/9/2011 by headsea

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14. 同余定理

被3整除的性质是看各位的数字和，被3除所得余数也依然是这个道理

被3整除可以任意截断原数，不妨按自然数顺序每3个数为一组。则每组3个连续自然数的和均可被3整除。分组最后剩下10，被3整除余1. 一位数有9个数字

二位数有90*2=180个数字

此外三位数有 209-9-180=20个数字

因此，这个209位数为 123456789101112.....9910010110210310410510 123456789101112.....9910010110210310410510

同余于1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2+......+1+0+5+1+0 同余于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+.......+105+1 同余于(1+105)*105/2+1 同余于53*105+1 同余于2*0+1 同余于1 (mod3)

http://bbs.eduu.com/thread-956783-1-1.html

15. 算法一：

设轮船静水中的速度为X，水流的速度为Y 100/（X+Y）+64/（X-Y）=9（1） 80/（X+Y）+128/（X-Y）=12（2） （2）*5－（1）*4，得到：（640-256）/（X-Y）=60-36 （X-Y）=384/24=16（3） （1）*2－（2），得到：（200-80）/（X+Y）=18-12 （X+Y）=120/6=20（4） （4）-（3），（4）+（3）可以得出X，Y

结果：18千米/小时

算法二：（Skykiller补充）

轮船顺流航行200千米，逆流航行128千米共用：9*2=18小时

所以，轮船顺流航行200-80=120千米，用时：18-12=6小时，顺流速度为：120/6=20千米/小时。

顺流航行100千米用时：100/20=5小时，则逆流航行64千米用时：9-5=4小时，逆流速度：64/4=16千米/小时。

静水速度=（顺流速度+逆流速度）/2=（20+16）/2=18千米/小时。

16. A、B、C三个数字能排成de三位数：ABC,ACB, BAC,CAB, BCA,CBA

对A而言，100A+100A+10A+10A+A+A=222A

因此所有三位数之和=222*（A+B+C）=3108，得到（A+B+C）=14（1） ABC-CBA=495，

由于C<=A，因此10+C-A=5－＞A-C=5－＞A=C+5（2） 由（2）可知，A、C取值对为（9，4），（8，3），（7，2），（6，1）， 由（1）可知：相对应A、B、C取值对为（9，1，4），（8，3，3），（7，5，2），（6，7，1），由A>B>C可知，只有（7，5，2）符合。

9/9/2011 by headsea

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17. 算法一：

加乘原理

百位是0时,个位可以是1~9，共有9*10=90个 百位是1时,个位可以是2~9，共有8*10=80个 以此类推。。。

百位最大是8，各位只能是9，共有1*10=10个

个位数大于百位数的=90+80+70+60+50+40+30+20+10=450

算法二：（Skykiller补充）

1000个数中，个位数等于百位数的共有：10*10=100个 个位数大于百位数的与个位数小于百位数的数目相同，（1000-100）/2=450个

18. 算法一：

假设白球数是X，则红球数是3X+2；又假设若干次为N次 X-7N=3（1）

3X+2-15N=53（2）

（2）-3*（1）得到：3X+2-15N-（3X-21N）=53-3*3 －＞6N=42－＞N=7（3） （3）代入（1），得到：X=3+7*7=52，3X+2=158 结果：158-52=106

算法二：

非方程，分组思想：（怎样解释为什么要假设取红球21只呢？）

假设每次取7只白球，21只红球，则最后应该剩下3只白球，3*3+2=11只红球。 现在红球多了：53-11=42只，

实际和假设每次取的红球差：21-15=6只 所以共取的次数为：42/6=7 次 白球数：7*7+3=52只 红球数：7*15+53=158只

红球比白球多：158-52=106 只。

19. 算法一：

假定这两个数分别为X，Y。

假设X，Y的积是一个N位的数，(AnAn-1…A1)=An*10n-1+ An-1*10n-2+…+A1 An+ An-1+…+ A1=X+Y（1）

X*Y=(AnAn-1…A1) =An*10n-1+ An-1*10n-2+…+A1= 2(An+ An-1+…+ A1)（2） 由（2）得到：An*99…8+ An-1*99..8+…+A3*98+A2*8=A1（3） 由（3）推出：An 、An-1、…A3必须等于0，即A2*8=A1 （4） 由（4）推出：A2=1，A1=8

因此，由（1）得到： X+Y=9（5） 由（2）或者由假设，得到：X*Y=18（6） 由（5），（6）推出：（X，Y）=（3，6） 结果：一个数是3，另一个数是6。

个人认为上述推导的思路值得去辅导小孩的。

9/9/2011 by headsea

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算法二：（Skykiller补充） 假设这两个数是：a和b 2*（a+b）=a*b 2a=b*（a-2） b=2+4/(a-2)

b为整数，a的取值只可能是：3、4、6，对应b的取值为：6、4、3 验证a=b=4不符合题目第一个条件，去除。

所以只两个数是：3和6

经过对Skykiller的一些解题思路分析，小学奥数题，有很多是可以假设并试凑的，关键是如何假设或怎样试凑并验证。

9/9/2011 by headsea

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