97里_谢永钦版)_复旦大学_课后题答案(全) 2(5)

【解】因为P(X?1)?54，故P(X?1)?. 99而 P(X?1)?P(X?0)?(1?p)2

4, 91即 p?.

3故得 (1?p)?2从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?465?0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

??np?2000?0.001?2

e?225?0.0018 得 P(X?5)?5!13.进行某种试验，成功的概率为

31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X?1,2,?,k,?

13P(X?k)?()k?1

44P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)?? 131313???()3???()2k?1?? 444444131??4? 41?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

21

e?55kP(X?15)?1???0.000069

k!14k?0(2) P(保险公司获利不少于10000)

?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)

10??e?55k ?0.986305k?0k!

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上?

P（保险公司获利不少于20000）?P(30000?2000X?20000)?P(X?5)5 ??e?55k k?0k!?0.615961

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%?

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞

求：（1）A值；（2）P{0

????f(x)dx?1得

1???Ae?|x|dx?2????0Ae?xdx?2A

故 A?12. (2) p(0?X?1)?12?10e?xdx?1?12(1?e)

(3) 当x<0时，F(x)??x1??2exdx?12ex 当x≥0时，F(x)??x1??2e?|x|dx??01??2exdx??x102e?xdx ?1?1?x2e

?1xx?0故 F(x)????2e,

?1?12e?x??x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

?100f(x)=??x2,x?100,

??0,x?100.求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

22

（3） F（x）. 【解】

1001dx?. ?100x2328p1?[P(X?150)]3?()3?

32741122(2) p2?C3()?

339（1） P(X?150)?150(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时F(x)? ? ??x??100f(t)dt f(t)dt??x100???xf(t)dt

100100dt?1? ?100t2x?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

?1?,0?x?a f(x)??a?其他?0,故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)?当x>a时，F（x）=1

即分布函数

?x??f(t)dt??f(t)dt??0xx01xdt? aa?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

?1?,2?x?5 f(x)??3?其他?0, 23

P(X?3)??故所求概率为

5312dx? 3323202221p?C3()?C3()? 33332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为

x?1?5?e,x?0 f(x)??5?0,x?0?1515该顾客未等到服务而离开的概率为

x1?5P(X?10)??edx?e?2

105?Y~b(5,e?2),即其分布律为

kP(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.5167?25

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

?x?4060?40?P(X?60)?P?????(2)?0.97727

10??10若走第二条路，X~N（50，42），则

?X?5060?50?P(X?60)?P?????(2.5)?0.9938++

4??4故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N（40，102），则

?X?4045?40?P(X?45)?P?????(0.5)?0.6915

1010??若X~N（50，42），则

?X?5045?50?P(X?45)?P?????(?1.25)

4??4

24

?1??(1.25)?0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N（3，22），

（1） 求P{2

22??2?1??1???(1)???????(1)?1???? ?2??2?

?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P????

22??2 ????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)

?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5? ?1???????????????1????

?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?33-3?)?1??(0)?0.5 22(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.050.12???

0.060.06??

?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]?0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】P(120?X?200)?P??120?160X?160200?160???? ????? 25

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