11年高考数学总复习教学(向量)(2)

华侨城中学2011年高考数学总复习教学案

复习内容：空间向量及其运算

【知识与方法】

?????????1???1、如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(AB＋BC＋CD)

2

化简的结果为 ( )

????????A．BF B．EH

????????C．HG D．FG

2、如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，

???????????????????若AB＝a，A1D1＝b，A1A1＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是 ( )

1111

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c

22221111

C. a－b＋c D．－a－b＋c

2222

3、面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且

AB＝AC＝α，BD＝2a，则CD的长为 ( ) A．2a B.5a C．a D.3a

rrrrrr4、若向量a=（1,1,x）, b=(1,2,1), c=(1,1,1),满足条件(c?a)?(2b)=-2,则x= .

5、A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点是否共面________(共面或不共面)． 6、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。

7．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°. (1)求AC1的长；

(2)求BD1与AC夹角的余弦值．

8.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，O为原点，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．

????(1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b?

9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的点，且满足DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D1AB＝60°，设AC与BE的交点为O.

??????????????????(1)试用基向量AB，AE，AD1表示向量OD1；

(2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；

(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．

10、如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. （1）证明PA//平面BDE；

（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.

华侨城中学2011年高考数学总复习教学案

复习内容：空间向量及其运算

【知识与方法】

?????????1???1、如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(AB＋BC＋CD)

2

化简的结果为 ( )

????????A．BF B．EH

????????C．HG D．FG

?????????????????????1???1????1????1

解析：(AB＋BC＋CD)＝(AC＋CD)＝AD＝·2HG＝HG.答案：C

2222

2、如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，

???????????????????若AB＝a，A1D1＝b，A1A1＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是 ( )

1111

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c

22221111

C.a－b＋c D．－a－b＋c 2222

????????????????1???解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，B1M＝B1B＋BM＝c＋BD

2

????1????11

＝c＋(AD－AB)＝－a＋b＋c.答案：A

222

3、面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且

AB＝AC＝α，BD＝2a，则CD的长为 ( ) A．2a B.5a C．a D.3a

????????????????????????解析：∵AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC,BD〉＝60°，且AC·BA＝0，AB·BD＝0， ????????????????????????????????∴CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|＝(CA?AB?BD)2 ＝a2＋a2＋(2a)2＋2a·2acos120°＝2a.答案：A

rrrrrr4、若向量a=（1,1,x）, b=(1,2,1), c=(1,1,1),满足条件(c?a)?(2b)=-2,则x= .

rrr???【解答】c?a?(0,0,1?x)，2b?(2,4,2)，由(c?a)?(2b)??2得(0,0,1?x)?(2,4,2)??2，

即2(1?x)??2，解得x?2.

5、A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点是否共面________(共面或不共面)．

????????????????????????解析：AB＝(3,4,5)，AC＝(1,2,2)，AD＝(9,14,16)，设AD＝xAB＋yAC.即(9,14,16)＝

??x＝2，

(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，∴?

?y＝3，?

从而A、B、C、D四点共面．

6、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。

【解析】设M(0,y,0)由12?y2?4?1?(?3?y)2?1可得y??1故M(0,?1,0)

7．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°. (1)求AC1的长；

(2)求BD1与AC夹角的余弦值．

?????????????解：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则两两夹角为60°，且模均为1. ???????????????????????????(1)AC1＝AC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c.

?????122222

∴|AC1|＝(a＋b＋ c)＝|a|＋|b|＋|c|＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝3＋6×1×1×＝6，

2

?????∴|AC1|＝6，即AC1的长为6.

????????????????????????????????????(2)BD1＝BD＋DD1＝AD－AB＋AA1＝b－a＋c.∴BD1·AC＝(b－a＋c)·(a＋b)

＝a·b－a＋a·c＋b－a·b＋b·c＝1.

?????22

|BD1|＝(b－a＋c)＝2，|AC―→|＝(a＋b)＝3，

22

??????????????????BD1?AC166∴cos〈BD1，AC〉＝????＝.∴BD1与AC夹角的余弦值为. ?????＝

62×36BD1?AC8.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，O为原点，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a＋b|；

????(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b?

解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝02＋(－5)2＋52＝52. ????????(2)假设存在一点E满足题意，即AE＝t AB (t≠0)． ????????????????????OE＝OA＋AE＝OA＋t AB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)， ????????若OE⊥b，则OE·b＝0，

????9

所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得OE⊥b，

5

6142

此时点E的坐标为(－，－，)．

555

9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的点，且满足DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D1AB＝60°，设AC与BE的交点为O.

??????????????????(1)试用基向量AB，AE，AD1表示向量OD1；

(2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；

(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．

解：(1)∵AB∥CE，AB＝CE＝2，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为BE的中点．

???????????????1????????1?????????????1????∴OD1＝AD1－AO＝AD1－(AB＋AE)＝AD1－AB－AE.

222

?????????(2)设异面直线OD1与AE所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈OD1，AE〉|＝|

?????????OD1?AE?????????OD1?AE|，

??????????1????????????????????1???????1????2?1?????∵OD1·AE＝(AD1－AB－AE)·AE＝AD1·AE－AB·AE－|AE|

2222

112

＝1×2×cos45°－×2×2×cos45°－×(2)＝－1，

22

??????????1????6

|OD1|＝ (AD1?AE)2＝，∴cosθ＝|

22

?????????OD1?AE?????????OD1?AE|＝|－16

×22

|＝

3. 3

故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为3. 3

?????1????????????????????(3)平面D1AE⊥平面ABCE.证明如下：取AE的中点M，则D1M＝AM－AD1＝AE－AD1，

2????????????????????????1????????1????2

∴D1M·AE＝(AE－AD1)·AE＝|AE|－AD1·AE

22

??????????12

＝×(2)－1×2×cos45°＝0.∴D1M⊥AE.∴D1M⊥AE. 2

????????????????????????1????????????11????∵D1M·AB＝(AE－AD1)·AB＝AE·AB－AD1·AB＝×2×2×cos45°－1×2×

222??????????cos60°＝0，∴D1M⊥AB，∴D1M⊥AB.

又AE∩AB＝A，AE、AB?平面ABCE，

∴D1M⊥平面ABCE.∵D1M?平面D1AE，∴平面D1AE⊥平面ABCE.

10、如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. （1）证明PA//平面BDE；

（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论. 【解析】（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0）， P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

PA?(2,0,?2),DE?(0,1,1),DB?(2,2,0)设

?n1?(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，

???n1???n则由 ?1??????DE?0?y?z?0得取y??1,得n?(1,?1,1).?????1?DB?0?2x?2y?0

??????????∵PA?n1?2?2?0,?PA?n1，又PA?平面BDE,?PA//平面BDE.

?（Ⅱ）由（Ⅰ）知n1?(1,?1,1)是平面BDE的一个法向量，

?????P

又

n2?DA?(2,0,0)是平面DEC的一个法向量.

设二面角B—DE—C的平面角为?，由图可知????n?1,n2?

cos??cos??n??n?1?n2A

1,n2??∴

|?n?|?2n?1|2|3?2?33

x

3故二面角B—DE—C的余弦值为3

（Ⅲ）∵PB?(2,2,?2),DE?(0,1,1) ∴PB?DE?0?2?2?0,?PB?DE.

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设PF??PB(0???1)，

则PF?(2?,2?,?2?),DF?DP?PF?(2?,2?,2?2?)，

由

PF?DF?0得4?2?4?2?2?(2?2?)?0

∴

??13?(0,1)，此时PF?13PB

1即在棱PB上存在点F，

PF?3PB，使得PB⊥平面DEF

z C y

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