常微分与物理学(2)

??arccot??x?S0?x???2Rgt?S02S0xS0?x?1S0,

因此质点落到地面的时间为

t?1RS0??S0arccot2g?RS0?R??R?S0?R???.

例3 子弹穿透一块钢板,已知子弹射入的速度为v0,穿出钢板时的速度为v1,又知穿透钢板时间为t1,子弹在钢板内的阻力与速度平方成正比,比例系数为k度.

分析 本题的关键是按题设应用牛顿第二定律列出速度与时间关系的微分方程及初始条件.

解 设子弹的运动速度为v?t?,又已知了它所受到的阻力为?kv2,则可以由牛顿第二定律得mdvdt??kv2?0,求钢板的厚

,其中m为子弹的质量,初始时间为子弹射入钢板时,得初始条件v?0??v0,

有

dvv2??gdt1v0,

?1gt?1v0其中g?km,积分得v?1gt?c,由初值得,C?.故v,令t?t1得

v1?1gt1?1v0, g?1?11????t1?v1v0?,

所求钢板的厚度,即子弹在钢板内所走过的距离

d??t10v?t?dt??t10?v01?v011dt?ln?gt??lngtv?1?ln???101gv0?0ggv1?gt?v011.

(二)电磁学方面

例4 如图1所示的R?L电路,其中E?50伏,L?2亨,R1?10欧,R2?20欧.试求:

(1)当开关K1合上10秒后,电感L上的电流;

(2)当K1合上10秒后,再合上K2,求K2合上20秒后电感L上的电流.

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R1R2K1K2LE

图1

解 根据法拉第电磁感应定律,可求得L的自感电动势??LdIdt,其中L是线圈的自感系数

且题设为2亨,I是通过线圈的电流强度.

若把图1简化为图2,则由电路的基尔霍夫第二定律得?dIdt?RLI?EL?RI?E,即

,

这是一个线性方程,求得其通解为

?RLtI?eER?ELt?a?e??R??R,

当t?0时,I?0,代入求得a??,故有

?t?E?LI??1?e?R??R.

?R1?10(1)当仅合上开关K1时,也就相当于有在图2中的R?50?得I??1?e10?102?10欧,将其代入题设其它数据

???5?(安),即开关K1合上10秒后,L上的电流为5安培.

RKLE

图2

(2)合上K110秒后,再合上开关K2,这时K2刚合上时初始条件是tK1、K?0时I?5( 安);

都合上时相当于图 2 中R2?R3?R1R2R1?R2?203(欧).将初始条件及R?R3代入上面

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通解表达式得

?R3LtI?5e?E???1?eR3?R3Lt???,

秒后再合上K2,再经20秒时电

以t

?20,及其它数据代入,算得I?7.5(安),即K1 合上10感L上的电流强度近似为7.5安培.

(三)热学方面

例5 设长为l的金属细杆,两端放在支架上,如图3,金属杆左端Q1维持在一固定温度

T1,右端维持在一固定温度T2,?T2?T1?,设温度与时间t无关,杆件导热系数为?,截面面积

为A,截面的周界为P,表面对周围介质传热系数设为常数a,杆周围介质的温度为T3,试确定杆件中任何点的温度与此点离热端距离之间的关系.

T1?T2?T1?0Q1T2Q2x

周围介质温度为T3图3

解 本例中强调金属细杆,意味着杆横截面上任何点温度T只与热端距离x有关,与垂直于轴心方向上点的温度变化无关,即T只是x的函数T?x?.

首先取时间的微元段dt和杆件上距离热端的微元段dx来应用热传导定律列出方程,因此我们取距Q1端距离为x处的,长度为dx的一个微元段研究热量的传导情况.按照热传导定律，在dt时间内，通过离杆端Q1的距离为x的截面上的热量是??AT'?x?dt.在dt时间内，通过离杆端Q1的距离为x?dx的截面上的热量是??AT'?x?dx?dt,由

T'?x?dx??T'?x??dT'?x??T''?x?dx,所以

.

??AT'?x?dx?dt???A??T'?x??T''?x?dx??dt因此在dt时间内,介于这两个截面之间长为dx的杆上传导的热量为上面两个热量之差，即

?AT''?x?dxdt.

而在dt这一段时间内,这段长为dx的杆散发在周围介质中的热量损失为aP?T?x??T3?dxdt 因为dx,dt是任意的,所以

dTdx22?aP?A?T?T3?.

这就是金属杆中热传导方程.

三．结束语

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常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的.近几十年来,世界科学技术进入了核能、火箭、人造卫星、数字时代,常微分方程定性理论及方法不论在应用上、理论上均不断地扩展着自身的领域,显示出前所未有的强大生命力[5].它的理论和方法,过去和现在都对力学、天文、物理、化学、生物、各种技术科学(如自动控制、无线电电子学等)及若干社会科学(如人口理论、经济预测等)提供了有力的工具,后者反过来也不断地向它提出新的问题,刺激着它不断地向前发展.

除常微分方程外,还有偏微分方程, 也称为数理方程.就是方程中的未知变量是多个自变量的的函数,且方程中必须出现未知变量关于某个或某几个自变量的偏导数.例如，假设u?u?x,y,z?,方程

?u?t??u?x22??u?y22就是一个偏微分方程,这是起源于热量传导的热传导

方程[6]. 偏微分方程同样刻画若干物理、化学等各种科学的数学模型.

总而言之, 微分方程在培养学生分析问题和初步解决某些实际问题的能力方面起着显著的作用.

[参考文献]

[1] 马合买提.常微分方程应用题解法.新疆教育学院学报, 2003,19(2).41-43 [2] 王高雄,周之铭等编.常微分方程.北京:高等教育出版社, 2007.76-77 [3] 钱祥征编.常微方程解题方法.湖南:湖南科学技术出版社, 2003.149-150 [4] 葛渭高,田玉,廉海荣.应用常微分方程.北京:科学出版社, 2010.68-69

[5] 熊佐亮,蒋鹏,朱向洪,黄先玖.微分方程应用若干举例.江西教育学院学报,2006, 27(6).28-31 [6] 中山大学数学力学系编.常微分方程.北京:人民教育出版社, 2006.53-54

Application of Ordinary Differential Equation in General Physics

Cao Wenxiu

[Abstract] Differential equation is one of the main bridge, which connect mathematical science with reality. This paper introduces practical problems and related knowledge of mechanics, thermal and electromagnetism in general physics, in addition it concludes their relationship with differential equation. And then we set up appropriate differential equations and discuss the solution of the equations about the nature, at last we explain the practical process with the solution or the nature of solution on the contrary .

[Key Words] ordinary differential equations ,derivative, general physics

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