第8章 电磁感应
8-1如图所示，通过回路的磁通量与线圈平面垂直，且指向图面， 设磁通量依如下关系变化?M?6t2?7t?1Wb,求t=2s时，在回路中的感生电动势的量值和方向。
解 根据法拉第电磁感应定律???i小
???Bd?M，可得感应电动势的大dt?i＝?d?M??12t?7?V dt
习题8-1图
当t?2s时，?i＝31V，逆时针方向。
8-2 如图，在均匀磁场中有一金属架aoba，ab边无摩擦地自由滑动，已知?aob??,ab?ox, 磁
2t场随时间变化的规律为B?，若t=0时，ab边由x=0处开始以速率?作平行于x轴的匀速滑动，试2求任意时刻t金属框中感应电动势的大小和方向。
解 任意时刻t金属框中oa边的长度为?t，取顺时针方 向为回路绕行正方向，则任意时刻t金属框中的磁通量为
?Bt211?M?BS?(?t??ttan?)??2t4tan?
224感应电动势为 ???i??d?M???2t3tan? dt“－”表示?i方向为逆时针转向。
习题8-2图
8-3 如图所示，U型金属导轨上有一导线ab与cd平行，cd长为L,磁场与导轨平面垂直且按
，t=0时，ab导线处于x0处。若ab以速度?沿导轨向右B?Bmsin?t的规律（Bm,?均为正值恒量）匀速滑动，求任意时刻矩形回路abcd中的感应电动势。
解 任意时刻t，da边长度为x0+?t，取顺时针方向 为回路绕行正方向，则任意时刻t金属框中的磁通量为
?M?BS?Bmsin?tL(x0??t)
感应电动势为 ?i???B??d?M??BmL[?cos?t(x0??t)??sin?t] dt习题8-3图
若为负值，则其方向为逆时针方向；若为正值，则其方向为顺时针方向。
8－4 如图所示，通有电流I?I0sin?t的长直导线下面有一与之共面的U形金属线框，线框上有一
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导体杆以速度?向右匀速滑动。t=0时，滑杆与U形框左边重合，求t时刻线框中的电动势。
解 设t时刻滑杆距左边x??t，面积元dS?xdr上的磁通量
d?M?BdS?
整个矩形面积上的磁通量 ?M?d?M??0I2πrxdr
??a?b?0Ixdr2πra??0Ix2πlna?b?0I0a?b?(ln)?t?sin?t a2πa由法拉第电磁感应定律 ?i???I?d?Ma?b??00(ln)(sin?t?t?cos?t) dt2πa若为负值，则其方向为逆时针方向；若为正值，则其方向为顺时针方向。
8-5 边长为a的等边三角形金属框ACD在均匀磁场B中以角速度?绕OO?轴匀速转动，OO?是CD的中线。求当金属框转动到其法线与
解 方法一：用电磁感应定律?i??习题8-5图
??B垂直时金属框上总的感应电动势的大小。
习题8-5解用图
d?M求解 dt?M?B?S?BScos????32aBcos? 4??是B与平面法线之间的夹角
?i??
d?M32d?32?aBsin??aB?sin? dt4dt441
金属框的法线与B垂直，即处于在图示位置时，
???
π 2
??i?方法二：用??(??B)?dl求解 i?L??3B?a2 4在解用图所示位置 ?CD沿
?0,?CA??AD, ??2?AD
AD积分，在距A点l处取一长度元dl，长度元dl上的电动势为
???133d?i?(??B)?dl?B?dlcos300?B?ldl?B?ldl
224?AD??a033B?ldl?B?a2 48?i?2?AD?3B?a2 4?8-6 导线弯成直径为d的半圆形状（如图），磁场B垂直向外通过导线所在平面，当导线绕着点A
垂直于半圆面逆时针以角速度? 旋转时，求导线AC间的感应电动势并指出哪点电势高。
解 连接AC，与半圆形导线形成闭合半圆形线框，则整个闭合半圆形线框在磁场中绕A点旋转时产生的总感应电动势
?i＝??从而 ??AC??CA?0
?BdrAC???CA??AC ?BAC即半圆形导线产生的电动势??和 直径
AC产生的电动势?AC相等
习题8-6图 习题8-6解用图 如解用图，在直线AC上距A点r处取微元dr (dr的方向背离A点)，则
???d?i?(??B)?dr?r?Bdr，
积分得 ?AC12????r?Bdr??Bd，正号说明电动势方向由A指向C，C点电势高。 ?AC02d8-7长直导线，载有电流I=5A，与这导线相距b=0.05m处放一矩形框（a=0.02m，L=0.04m），共1000匝，线框和导线在同一平面内，如图所示.从此位置起,线框以速率?=0.03m/s沿垂直长直导线方向向右移动,试求t时刻此线框中的感应电动势。
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a
I
I b
L
a
??dL ?? ro
习题8-7图
rdr习题8-7解用图 解 设任意时刻矩形框与直导线距离d?b??t?(0.05?0.03t)m,矩形框中的磁通量为
d?a?M???B?dS??S?0I2πrdLdr??0I2πLlnd?a d此线框中的感应电动势大小为
?i??d(N?M)N?0IL11ddN?0IL?11
?(?)?(?)dt2πdd?adt2πdd?a1000?4π?10?7?5?0.04?0.0311??(?)
2π0.05?0.03t0.07?0.03t?1.2?10?6?(方向顺时针。
8-8 一矩形回路在磁场中运动，已知磁感应强度
当t=0时，回路的一边与z轴重合（如图）。By?Bz?0,Bx?6?y。
求下列两种情况下,回路中感应电动势随时间的变化规律，（1）回路以速度?=2m/s沿y轴正方向运动；（2）回路从静止开始，以加速度a=2m/s沿y轴正方向运动。
解 （1）设任意时刻t，回路左边与z轴距离d，矩形导线框以?速度向右运动，则在矩形回路的四根导线中，只有两条竖边切割磁力线，产生电动势。设左边中产生的电动势为?1，右边中产生的电动势为?2。
习题8-8图
2
11?)V
0.05?0.03t0.07?0.03t
?1＝B1l??(6?d)l? ?2＝B2l??(6?d?b)l?
总电动势
?i??1??2?bl??0.2?0.5?2?0.2V 方向顺时针。
（2）分析同上
?1＝B1l??(6?d)l? ?2＝B2l??(6?d?b)l?
其中 ??2t。 总电动势
?i??1??2?bl??0.2?0.5?2t?0.2tV 方向顺时针。
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8-9 如图在半径为R的圆柱形体积内充满磁感应强度为B的均匀磁场，有一长为l的金属棒放在磁场中。设
?dB为已知，求棒两端的电势差的大小。 dt?M?BSAOA?A?BllR2?()2 22解 如解用图增加OA与OA?，构成闭合三角形AOA?A回路，沿顺时针绕行，通过回路的磁通量为
根据法拉第电磁感应定律，回路的电动势为
?BpQ习题 8-9和8-10图
?B习题 8-9解用图
?AOA?A??d?MdBll??R2?()2 dtdt22对三角形回路，有 ?AOA?A??AO??OA???A?A
??在OA?与AO上，E?dl,有?AO??OA??0
?AA????A?A?方向由
dBllR2?()2 dt222A指向A?， UA?A?dBlR2?(l)2 dt2???28-10如图在半径为R的圆柱形体积内充满磁感应强度为B的均匀磁场，B以1.0?10T/s的恒
定变化率减少.求图中P、O、Q三点的感生电场的大小,并将方向在图中标示出来
R,?5cm。) (OP?OQ?5.0cm?解 根据磁场分布的轴对称性可知，感生电场的电场线在圆柱内外都是与圆柱同轴的同心圆，且Ei处?处与圆线相切，在同一条电场线上，Ei的大小相同。过圆柱内任一点M在截面上作半径为r的圆形回路
L，回路的绕行方向与B的方向构成右手螺旋关系,即设解用图中沿回路的顺时针切线方向为Ei的正方向。 44
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