数列本章回顾
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点回放
两种数列的基本公式及性质
等差数列{an} 等比数列{an} 定义 通项公式 中项 前n项和公式 基本性质 为常数) 等价形式an＋1·an－12＝an (an≠0) an＝a1＋(n－1)d an＝a1·qn－1 n－m变形：an＝am＋(n－m)d 变形：an＝am·q a，G，b成等比数列a＋b?G＝±ab a，A，b成等差数列?A＝ 2(ab>0) (A称为a，b的等差中项) (G称为a，b的等比中项) q＝1时，Sn＝na1 n?n－1?q≠1时，Sn＝Sn＝na1＋d＝a1?1－qn?2＝1－qn?a1＋an? a1－anq2 1－q若m＋n＝p＋q，则若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq am·an＝ap·aq 若m＋n＝2p，则若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap am·an＝a2p {an}是常数列?d＝0 {an}是常数列?q＝an＋1－an＝d (d为常数) 等价形式an＋1＋an－1＝2an an＋1＝q (q≠0)(qan{an}递增?d>0 1 {an}递增??a1>0??或?q>1???a1<0??0
想方法
一、取倒数法和取对数法求通项
n＋1
2·an例1 已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2.求an.
an＋2n＋1
n＋12an解 对an＋1＝两边取倒数得：
an＋2n＋11an＋2n＋1
＝， an＋12n＋1an11?1?n＋1∴＝＋??. an＋1an?2?
1?1?n＋1
令bn＝，则bn＋1＝bn＋??.
an?2?
∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1) ?1?1?1?2?1?3?1?n＝??＋??＋??＋…＋?? ?2??2??2??2??1?n＝1－??.
?2?
n112∴an＝＝＝n.
bn1?n2－1?1－???2?
{an·bn}成等比数列 例2 在数列{an}中，an＋1＝3an，a1＝3.求an.
2
解 由已知，an>0，对an＋1＝3an两边取常用对数得：lg an＋1＝2lg an＋lg 3. 令bn＝lg an.则bn＋1＝2bn＋lg 3. ∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)． ∴{bn＋lg 3}是等比数列，
首项是b1＋lg 3＝lg 3＋lg 3＝2lg 3.
n－1n∴bn＋lg 3＝2·(b1＋lg 3)＝2lg 3.
-1∴bn＝(2－1)lg 3＝lg 32＝lg an.
nn2
∴an＝32n-1
二、运用恒等变形求数列前n项和
例3 (2009·山东日照一模)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任
*
意的n∈N满足2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正
log3an·log3an＋1
数n，总有Tn<1.
??2Sn＝3an－3，
(1)解 由已知得? (n≥2)．
?2Sn－1＝3an－1－3?
故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1， 即an＝3an－1 (n≥2)．
故数列{an}为等比数列，且q＝3. 又当n＝1时，2a1＝3a1－3，
n∴a1＝3.∴an＝3.
111
(2)证明 bn＝＝－.
n?n＋1?nn＋1
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
1??1??11??1
＝?1－?＋?－?＋…＋?－? ?2??23??nn＋1?
1
＝1－<1. n＋1
x＋2
例4 已知数列{an}的前n项和Sn，对一切正整数n，点(n，Sn)都在函数f(x)＝2－4的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
n＋2
解 (1)由题意，Sn＝2－4，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，
3
当n＝1时，a1＝S1＝2－4＝4，也适合上式，
n＋1*
∴数列{an}的通项公式为an＝2，n∈N.
n＋1
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2，
234nn＋1
∴Tn＝2·2＋3·2＋4·2＋…＋n·2＋(n＋1)·2，①
345n＋1n＋2
2Tn＝2·2＋3·2＋4·2＋…＋n·2＋(n＋1)·2.② ②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
3n－12?1－2?3n＋2
＝－2－＋(n＋1)·2
1－2
33n－1n＋2
＝－2－2(2－1)＋(n＋1)·2
n＋23n－1
＝(n＋1)·2－2·2
n＋2n＋2n＋2
＝(n＋1)·2－2＝n·2.
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