数学建模：牧场管理 姓名：@@@ ### %%%

牧 场 管 理

摘 要

本文重点解决了关于牧场养羊的管理规划问题，同时通过三个模型的建立来进一步细化和协调问题的三种制约关系，从而

模型一：草场面积S一定，春天时羊群数量N达到最大。在保证草料充足的前提下确定放牧羊群的最大数量，羊群数量N就等于一龄羊x1、二龄羊x2、三龄羊x3、四龄羊x4，五龄羊x5乘以各自的存活率之和，求得N?0.0020S

模型二：由于每年放牧的羊群数量一定，即每年保留的羊羔数量也是一个定值。每

年母羊产过羊羔后，五龄羊x5将会被卖掉，其中一部分母羊也会被卖掉，而保留的母羊羔数量T就等于二龄羊x2、三龄羊x3、四龄羊x4乘以各自的死亡率之和加上卖掉的五龄羊x5，所以根据已知数据求得T?0.0907N。

模型三：每年秋季和冬季羊羔不吃草，所以每年夏季储存多少草料与牧场剩余的母羊数量有关，又由于每年的羊群规模不变，所以每年储存的草料数量是一个定值。根据相关数据得出 0.1260S?m?0.3510S

关键词：牧场管理

一 问题重述

在一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要在草场能承受的范围内考虑放牧羊群的数量，并且要保证每年羊群的规模不变，而羊群数量又与其繁殖率和生产率有关。由此可以估计每年要保留的母羊及买进羊羔的数量，进而求出每年夏季储存多少草料供冬季使用。

二 问题的假设和符号说明

一、问题的假设

1. 该牧场所有问题都不会受到环境因素的影响。 2. 每年春季第一天羊的数目一定。

3. 所有母羊的生产都在春天的第一天完成。 4. 所有羊的交易都在秋天的第一天完成。 5. 每年母羊产出的羊羔数量一定。 6. 保持羊群规模的同时不买进羊羔。 7. 一年四季每一季都为90天。 二、符号说明 S：草场面积

不同年龄的羊的数量+ xi(1,2,……5)：N：春天第一天羊的总数量 T：每年保留的羊羔数量 p：01岁羊羔的存活率 m：冬天羊对草的总需求量

三 问题分析

牧场管理是一类带有复杂约束条件的优化与规划问题，在牧场管理过程中，要从草料、羊群繁殖率、羊群存活率等方面综合考虑，合理安排牧场管理方案。 对本文来说，要从

草场面积一定，春天时羊群数量达到最大。每年草料的产量成为限制羊群数量的主要因素，根据本题给出的数据，再综合各个季节草的生长率和羊所需求草料的数量，可计算出草场最多能放牧的群数量。

由已知数据可知，每年母羊产完羊羔后，到达五岁以及产率较低的在秋季将会被卖掉，而期间一部分母羊也会死去。为了保持羊群规模，要保留一部分母羊羔。假设每年不买进羊羔，保留的母羊羔数量从每年母羊产的羊羔中选取，根据卖掉的母羊数量和各个年龄段羊群的存活率算出每年保留多少母羊羔。

在秋季的第一天把全部公羊和一部分母羊卖掉，并且要保持最初的羊群数量不变。由于羊羔在秋季和冬季不吃草，所以根据保留的母羊数量及草在秋季的生产量可以求出夏季储存多少草料供冬季之用。

最后，针对羊群规模，从草料的角度考虑，我们对三种情况进行了不同假设，设计出满足情况下的最优方案。

1

四 模型的建立与求解（结果说明）

4.1模型建立

殖率和存活率的数据，见附录一、二，可列出下列关系式： 模型一：

?N?x1?x2?x3?x4?x5?x?1.8?x?2.4?x?2.0?x?1.8?x2345?1??x2?p?x1 （4.1） ??x3?0.98?x2?x4?0.95?x3???x5?0.8?x4 每年羊群的数量是一定的，我们根据每个年龄段羊的存活率和卖掉的母羊数量算出每年保留多少母羊羔，得关系式：

T??1?0.98??x2??1?0.95??x3??1?0.80??x4?x5 又可根据草的日生产率，和羊对草的需求量（单位为kg）的数据，见附录三、四，列出下列不等式： 模型三

?3?S?1000?90?[x1?2.4?(x2?x3?x4?x5)]?90??7?S?90?[1.65?x?1.15?(x?x?x?x)?m]?90?12345 （4.2） ?1000?4?S?90?[1.35?(x2?x3?x4?x5)]?90?1000???m?90?[2.1?(x2?x3?x4?x5)]?90

解模型一：

由式得

x3?0.98?p?x1 x4?0.9310?p?x1 x5?0.7448?p?x1

把x1、x2、x3、x4、x5代人得：

N?x1?p?x1?0.98?p?x1?0.9310?p?x1?0.7448?p?x1N?(1?3.6558?p)?x1N得：x1?

(1?3.6558?p)把x2、x3、x4、x5代人得：

x1?1.82?p?x1?2.4?0.98?p?x1?2.0?0.9310?p?x1?1.8?0.7448?p?x1

x1?7.3746?p?x1

得：p?0.1356

2

即：x1?0.6686?N x2?0.090?8N ?7N x3?0.088x4?0.0844?N x5?0.067?5N 则：

?p?0.1356?x?0.6686N?1??x2?0.0907N （4.3） ??x3?0.0888N?x4?0.0844N???x5?0.0675N

解模型二：T?0.0907N

解模型三：由式得：

3?S?0.6686?N?2.4?0.3315?N 1000

S?488.0667?N

由式得：

7?S?1.65?0.6686?N?3.25?0.3315?N 1000

S?311.5093?N

由式得：

4?S?1.35?0.3315?N 1000

S?111.8813?N

由式得：

m?0.6962?N

又可根据(8)式得：

m?7?S?1.4844N 1000 m?1.9321N

取S?488.0667N得：

?S?488.0667N?S?311.5093N? （4.4） ??S?111.8813N??0.6962N?m?1.9321N取S?488.0667N则:

0.0014S?m?0.0039S（每天储存的草量）

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结果说明：假设S一定，据模型一、模型二、模型三可知，羊群总数为：N?0.0020S，需要保留的母羊羔数为：T?0.0907N，夏季为冬季保存的草量为：0.1260S?m?0.3510S。

五 模型检验和误差分析

六 模型的评价与推广

评价：

第一个与第二个模型是探讨以怎么样的的循环方式对牧民效益更好，第三个模型是在第二个模型的基础上，对四季供草的优化来再次提高牧民的利益，并且考虑到草的转化率问题，使模型更加贴近现实。虽然在模型中我们考虑了羊的死亡率问题,但我们做了理想化的假 设处理,这在很多方面与实际情况有所不符,因此模型有待改进. 推广：

本案例建立的模型中，解决了由多个因素影响与解决的牧场管理问题，采用了双因素、多因素分层次解决问题的方法。又因为该模型本身的特殊性，本模型并不完全等同于其它多因素问题的模型，所以在这仅仅适用于像牲畜管理,工厂劳动保障品生产与发放等特殊多因素.

七 参考文献

1 吴建国主编的《数学建模案例精编》 2 《全国大学生数学建模竞赛》培训教材

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八 附录

附录一： 年龄 产羊羔数 附录二： 年龄 存活率 附录三： 季节 日生长率（g2） m附录四： 季节 母羊 羊羔 01 0 12 12 1.8 23 2.4 23 34 2.0 34 45 1.8 0.98 冬 0 春 3 0.95 夏 7 0.80 秋 4 冬 2.10 0 春 2.40 1.00 夏 1.15 1.65 秋 1.35 0 5

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