高中导数经典知识点及例题讲解

§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题

自学引导

1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．

2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身

Δy1.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝________.

ΔxΔy 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则＝________，表示函

Δx数y＝f(x)从x0到x的平均变化率.

答 案 f?x2?－f?x1?1. x2－x12.f?x0＋Δx?－f?x0? Δx

名师讲解

1.如何理解Δx，Δy的含义

Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)．

2．求平均变化率的步骤

求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1.

Δyf?x2?－f?x1?

(3)得平均变化率＝.

Δxx2－x1

对平均变化率的认识

函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在

π

sin－sin0

2π2

[0，]上的平均变化率为＝.

2ππ

－02

在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.

1

典例剖析

题型一 求函数的平均变化率

例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度；

(2)求t＝0到t＝1的平均速度．

分析 t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)

ΔS－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度．

ΔtS3t－t2

解 (1)由于v＝＝＝3－t.

tt∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度． (2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1

ΔS2

∴v＝＝＝2.

Δt1

∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.

误区警示 本题?1?不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.

变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点

Δy(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )

ΔxA．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2 D．3－Δx

解析 Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx.

Δy－?Δx?2＋3Δx∴＝＝－Δx＋3 ΔxΔx 答案 D

题型二 平均变化率的快慢比较

πππ

例2 求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间的平均变化率．并比

632

较大小．

分析 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．

π

解 设y＝sinx在0到之间的变化率为k1，则

6

2

π

－sin063

k1＝＝. ππ－06

ππ

y＝sinx在到之间的平均变化率为k2，

32

sinsin

则k2＝

ππ3－sin1－2323?2－3?

＝＝. ππππ－236

33?2－3?3?3－1?

∵k1－k2＝－＝>0，

πππ

∴k1>k2.

π3ππ

答：函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变6π323?2－3?33?2－3?

化率为，且>. πππ

变式训练2 试比较余弦函数y＝cosx在0到化率的大小．

π

cos3－cos0

π

解 设函数y＝cosx在0到3之间的平均变化率是k1，则k1＝π＝－3－032π.

ππ

函数y＝cosx在3到2之间的平均变化率是k2，

ππ－cos233

则k2＝＝－.

πππ－23333

∵k1－k2＝－－(－)＝>0，

2ππ2π

∴k1>k2.

πππ

∴函数y＝cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化

332

率．

题型三 平均变化率的应用

例3 已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．

cos

πππ

之间和到之间的平均变332

3

Δs分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→ Δt 解 物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量 Δs＝s(1＋Δt)－s(1)

＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt)2＋4Δt.

物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为

2

Δs?Δt?＋4Δt

＝4＋Δt.

Δt＝Δt

变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．

解 质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为

s?2＋Δt?－s?2?－v＝

Δt[?2＋Δt?2＋1]－?22＋1?＝

Δt4Δt＋?Δt?2＝＝4＋Δt.

Δt又－v≤5，∴4＋Δt≤5.

∴Δt≤1，又Δt>0，

∴Δt的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念

自学引导

1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．

2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．

3．掌握函数f(x)在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.

4

课前热身

1.瞬时速度．

设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的________，即v＝

S?t0＋Δt?－S?t0?

.

Δt 当这段时间很短，即Δt很小时，这个平均速度就接近时刻t0的速度．Δ

t越小，v就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0时，这个平均速度的极限v＝lim

Δt→0

ΔSS?t0＋Δt?－S?t0?＝lim 就是物体在时刻t0的速度即为________． ΔtΔtΔt→0

2．导数的概念．

设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近0时，Δyf?x0＋Δx?－f?x0?比值＝无限趋近于一个常数A，这个常数A就是函数

ΔxΔxf(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.用符号语言表达为f′(x0)

Δy＝lim ＝________

ΔxΔx→0

答 案 1.平均速度 瞬时速度 f?x0＋Δx?－f?x0?2.lim ΔxΔx→0

名师讲解

1.求瞬时速度的步骤

(1)求位移增量ΔS＝S(t＋Δt)－S(t)；

ΔS(2)求平均速度v＝；

ΔtΔSS?t＋Δt?－S?t?

(3)求极限lim ＝lim ；

ΔtΔtΔt→0

Δt→0

5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高中导数经典知识点及例题讲解在线全文阅读。