中考数学专题复习第4章三角形第13讲全等三角形及其性质含答案

第13讲（全等）三角形及其性质

?【基础知识归纳】?

?归纳1. 三角形中的三条主要线段

⑴三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点间的线段叫做 角平分线

⑵在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 中线 ⑶从三角形一个顶点向它的对边做垂线，

顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高 （简称 高 ）

?归纳2.三角形的中位线

三角形的中位线平行于 第三边 ，并且等于 第三边的一半 ．

?归纳3.三角形的三边关系定理及推论

三角形三边关系：任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边．

?归纳4.三角形的内角和定理及推论

⑴三角形内角和：三角形三内角之和等于 180° ． ⑵三角形外角的性质：

①三角形的一个外角 大于 任何一个和它不相邻的内角； ②三角形的一个外角 等于 与它不相邻的两内角之和．

?归纳5.三角形的分类

①按边分：三角形分为 不等边三角形 和 等腰三角形

②按角分：三角形分为 锐角三角形 ， 直角三角形 ， 钝角三角形 .

?归纳6.全等三角形

⑴能够完全重合的两个图形就是 全等图形； 能够完全重合的两个三角形就是 全等三角形 ⑵全等三角形的对应边 相等 ，对应角 相等 ．

⑶全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线) 相等 ⑷全等三角形的周长 相等 ，面积 相等

?归纳7.三角形全等的判定定理： ①边边边定理：（可简写成 SSS ） ②边角边定理：（可简写成 SAS ） ③角边角定理：（可简写成 ASA ） ④角角边定理：（可简写成 AAS ）

⑤直角三角形全等的判定：（斜边、直角边定理）（可简写成 HL ）

?【常考题型剖析】?

1

? 题型一、三角形的边和角

【例1】（2016岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）

A. 2cm，3cm，5cm C. 3cm，4cm，8cm

【答案】D

【分析】选项A，因为2+3=5，所以不能构成三角形，错误；

选项B，因为2+4＜6，所以不能构成三角形，错误； 选项C，因为3+4＜8，所以不能构成三角形，错误； 选项D，因为3+3＞4，所以能构成三角形，正确．

【例2】(2015滨州) 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3: 4: 5，则∠C等于（ ）

A. 45° B. 60° C. 75° D. 90°

【答案】C

【分析】三角形的内角和是180°，因为∠A:∠B:∠C=3: 4: 5，所以∠C=180°?

【举一反三】

1. ( 2016河池) 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）

A. 5，5，10 B. 4，5，6 C. 4，4，4 D. 3，4，5 【答案】A

【分析】选项A，因为5+5=10，所以不能构成三角形，错误；

选项B，因为4+5>6，所以能构成三角形，正确； 选项C，因为4+4>4，所以能构成三角形，正确； 选项D，因为3+4＞5，所以能构成三角形，正确．

2. ( 2016邵阳) 如图，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD， 则下列结论正确的是（ ）

B. 7cm，4cm，2cm D. 3cm，3cm，4cm

5= 75° 12

A. AC＞BC B. AC=BC C. ∠A＞∠ABC D. ∠A=∠ABC 【答案】A

【分析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；

∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．

3. (2015柳州) 如图，图中∠1的大小等于（ ）

2

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D

【分析】三角形的一个外角 等于 与它不相邻的两内角之和．

所以∠1=130°-60°=70°

4. (2016盐城) 若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a?4?b?2?0， 则c的值可以为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A

【分析】∵a?4?b?2?0，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；

则4﹣2＜c＜4+2，2＜c＜6，只有A选项5符合条件；

5. (2016白银) 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x?13x?40?0的根， 则该三角形的周长为 ． 【答案】12

【分析】解方程x?13x?40?0的根分别是x1?5,x2?8，因为三角形的两边长分别是3

和4，根据三角形三边关系：任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边．所以三角形的第三边为5，所以三角形的周长=3+4+5=12

6. (2015盐城) 如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF， 若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 .

22

【答案】20

3

? 题型二、全等三角形的性质和判定

【例3】(2016永州) 如图1，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，

已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

图1 图2

A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD

【答案】D

【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加

条件，逐一证明即可．

【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，

A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，

所以此选项不能作为添加的条件．

【例4】(2016成都) 如图2，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，

则∠B= ．

【答案】120°

【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，

∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°，

【举一反三】

4

7. (2016新疆) 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后， 仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）

A. ∠A=∠D B. BC=EF C. ∠ACB=∠F D. AC=DF 【答案】D

【分析】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE

A、如果添加∠A=∠D，利用ASA即可证明△ABC≌△DEF； B、如果添加BC=EF，利用SAS即可证明△ABC≌△DEF； C、如果添加∠ACB=∠F，利用AAS即可证明△ABC≌△DEF； D、如添AC=DF，因为SSA，不能证明△ABC≌△DEF，

所以此选项不能作为添加的条件．

8. (2016昆明) 如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE．

【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，

再根据全等三角形的判定定理AAS, 得出△ADE≌△CFE，

证明：∵FC∥AB，

∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE， 在△ADE和△CFE中，

???DAE??FCE??ADE??CFE， ??DE?FE∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AE=CE．

9. (2016重庆) 如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．

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