2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题五 第1讲 空间几何体(3)

4C. 3答案 D

8D. 3

48

解析 多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝4－＝，选D.

33

3．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为( )

A．15＋33 C．30＋63 答案 B

解析 由三视图知几何体是一个底面为3的正方形，高为3的斜四棱柱，所以V＝Sh＝3×3×3＝93. 4．已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧(左)视图如图所示．当正(主)视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( )

B．93 D．183

A．8 C．82 答案 B

解析 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相1

同，设棱锥的高为h，则a2＋h2＝4.故其主视图的面积为S＝·2a·h＝

2a2＋h2

ah≤＝2，即当a＝h＝2时，S最大，此时该正四棱锥的表面积

2

B．8＋82 D．4＋82

- 11 -

1

S表＝(2a)2＋4××2a×2

2＝8＋82，故选B.

5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为( )

A.333

π B.π C.π D.3π 362

答案 A

解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h＝

22－12＝3.易知该几何体

113的体积就是整个圆锥的体积，即V圆锥＝πr2h＝π×12×3＝π.故选A.

333

6．(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

81π27π

A. B．16π C．9π D. 44答案 A

解析 如图，设球心为O，半径为r， 则Rt△AOF中，(4－r)2＋(2)2＝r2， 9解得r＝，

4

981

∴该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝π.

44二、填空题

7．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________． 答案 2＋

2

2

解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

- 12 -

则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝而四边形AECD为矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝由此可还原原图形如图．

2

＋1. 2

2. 2

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，

1

∴这块菜地的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′

2122＝×(1＋1＋)×2＝2＋. 222

2

＋1，且2

8．如图，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________． 答案 6

解析 沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图． 则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°. 在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案为6.

9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______． 1答案 6

解析 VD1?EDF?VF?DD1E?111＝××1×1×1＝. 326

10．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球的表面积等于________． 答案 16π

解析 设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4ab＝82，当且仅当a＝b＝22时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，

1S?DDEAB 31

- 13 -

无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π. 三、解答题

11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S.

解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E－ABCD.

1

(1)V＝×(8×6)×4＝64.

3

(2)四棱锥E－ABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝ 842＋??2＝42；

2

另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝ 11

因此S＝2×(×6×42＋×8×5)＝40＋242.

22

12．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°. (1)求证：EF⊥PB；

(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．

642＋??2＝5.

2

(1)证明 ∵EF∥BC且BC⊥AB，

∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE＝E， ∴EF⊥平面PBE，又PB?平面PBE， ∴EF⊥PB.

(2)解 设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4. 1

∴S△PEB＝BE·PE·sin∠PEB

2

- 14 -

11?x＋y?2＝xy≤?＝1. 44?2??

当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大． 此时，BE＝PE＝2. 由(1)知EF⊥平面PBE， ∴平面PBE⊥平面EFCB，

在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB. 即PO为四棱锥P—EFCB的高． 1又PO＝PE·sin 30°＝2×＝1.

21

SEFCB＝×(2＋4)×2＝6.

21

∴VP—BCFE＝×6×1＝2.

3

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